1、概率论与数理统计,讲授 柳庆新,河海大学数学系列基础课程CAI,本课程与其他数学基础课的关系,微积分 线性代数,序 言,一.确定性数学 初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等 二.随机数学-以概率论为代表1.赌博 人口统计 出生率 性别等2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 -概率论,三.理论联系实际最活跃的学科,1.应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军 事、科技等领域2.渗透性: 与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、 数量
2、经济等,四.概率论的内容构成,基础部分-概率论: 古典概率 随机变量及其分布分布函数 数字特征等 应用部分-数理统计: 统计量构造 参数估计假设检验 回归分析等 深入部分-随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程随机分析等,第一章 随机事件和概率,随机试验 样本空间、随机事件 频率和概率 古典概型 几何概型 概率的公理化结构 条件概率 事件的独立性 贝努里概型,1.1 随机试验 一、随机试验(简称“试验”)的例子,随机试验可表为EE1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果；E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i;E4: 掷两颗骰子，考虑可能
3、出现的结果；,二、随机试验的特征,E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；,1.可在相同条件下重复进行;2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,1.2 样本空间、随机事件 一、样本空间,1、样本空间：随机试验的一切可能的结果所组成的集合称为样本空间，记为=；2、样本点: 样本空间的元素称为样本点，样本点即基本事件，记为.例如 对应E1的样本空间为=H，T；对应E2的样本空间为=(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)；对应E5的样本空间为=0, 1, 2, ；,二、随机事件,1.定义 一般将随机试验E的样本空间的子集称
4、为E的“随机事件”, 简称“事件”.2.基本事件:单个样本点组成的集合不可能再分解的事件, 即试验的结果，常记为“”.3.事件A发生：在每次试验中，如果出现A中所包含的某个样本点。4.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件.任何事件均是某些样本点组成的集合.例 对于试验与E2,E5,以下A 、 B即为两个随机事件:A“至少出一个正面” (H,H), (H, T), (T, H)；B“至少m次少于n次”m, m+1, , n1。,三、事件之间的关系,1.包含关系:“ A发生必导致B发生”记为ABAB AB且BA. 2.和事件: AB 3.积事件: ABAB 4.差事件、对立事件(余事件)：AB称为
5、A与B的差事件,5.互不相容性：AB A、B互为对立事件 AB , 且AB ,四、事件与集合对应关系类比,概率论 集合论样本空间 事件 子集事件A发生 A事件A不发生 A必然事件 不可能事件 事件A发生导致事件B发生 AB,概率论 集合论 事件A与B至少有一个发生 AB 事件A与B同时发生 AB(或AB) 事件A发生而B不发生 AB 事件A与B互不相容 AB,例 设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：（1） A发生,B与C不发生；（2） A,B,C至少有一个发生；（3） A,B,C都发生；（4） A,B,C都不发生；（5） A,B,C中不多余一个发生；（6） A,B,C中
6、至少有两个发生,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AB)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,1.3 频率与概率 一、频率,1.定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即fn(A) nA/n.,2.频率的性质 (1) 非负性： fn(A) 0； (2) 规范性： fn()1； (3) 可加性：若AB ，则fn(AB) fn(A) fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋
7、向一个定值。,二. 概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1)非负性：对任一事件A，有P(A) 0； (2) 规范性： P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj
8、，(ij), i , j1, 2, , 有P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质 (1) 不可能事件概率零：P()0； (1.2) (2) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (1.3) (3) 单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A) , 且P(BA)P(B)P(A)； (1.4),(4) 互补性：P(A)1 P(A)，且P(A) 1 ; (1.5) (5) 加法公式：对
9、任意两事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB) (1.6) 公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形； (6) 可分性：对任意两事件A、B，有P(A)P(AB)P(AB ) . (1.7),一般的，有如下定义 定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：,乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列：从含
10、有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果 后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Ank=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有,种取法.,1.4 古典概型 一、古典概型的特征,1.有限性：样本空间1, 2 , , n ; 2.等可能性：P(i)1/n, (i1, 2, , n). 古典概型也称为等可能概型。,二、古典概型的计算公式,P(A),设事件A中包含k个样本
11、点(基本事件),例1、掷一颗骰子，求出6点的概率。 例2、做试验E：“将一枚硬币连抛2次” , 观测出正、反面的情形。(1) 写出E的样本空间；(2) 设A1“恰有一次出正面” ，求P(A1)；(3) 设A2“至少出一次正面” ，求P(A2).,例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中 取二次，每次取一只(分别考虑有放回和无放回 取球的情形)。求 (1) 全是白球的概率； (2) 两球色相同的概率； (3) 至少一只白球的概率。,三、古典概型的几类基本问题,1、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球的概率是多少? 2、取数问题 设有17七位数字
12、，从中任取三个不同的数字组成一个三位数，求这三位数是偶数的概率。,3、分配问题 把n个不同的球随机 地分配到m (nm)个不同的盒子中去， 问每盒中至多有一球的概率是多少？ (设盒子的容量不限)。 4、配对问题 从五双不同的鞋子中任意地 取出四只，问其中至少有两只成双的概率是 多少?,例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任意一间去住(nN)，求下列事件的概率： (1)指定的n个房间每个房间各有一人; (2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。 (3)某指定的房中恰好有m(m n)个人; (4)一间房中恰好有m个人.,1.5 几何概型 一、几何概型的特征,1.基本事件数无限：
13、， 充满区域 ； 2.等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关。,二、几何概型的计算公式,其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中” 这一事件。,例1、(会面问题)两人相约7点到8点在某地 会面，先到者等候另一人20分钟，过时可 离去，试求两人会面的概率。,1.6 概率的公理化结构,公理1 事件域公理样本空间的部分子集所组成的集合F若满足以下三个条件: (F.1) F；(F.2) 若AF ，则 A A F；(F.3) 若有一列AiF, i1,2, , 则可列和 .,则称其为上的域(或代数)，也称其为上的事件域。二元体( ，F )称
14、为可测空间。,由公理1可推得如下性质： (1) F; (2) 若A、BF，则AB F，AB F，AB F; (3) 若有一列AiF, i1, 2, ,则 .,公理2 概率公理 设(，F)为可测空间，在事件域F上 定义一个实值函数P(A)，AF，满足： (1)非负性： P(A)0，对任意AF; (2)规范性： P( )1; (3)可列可加性：若有一列AiF, i1, 2, , AiAj, 使得则称P(A)，AF为域F上的概率测度，简称“ “概率”。 满足公理1和公理2的三元体 (, F，P)称为概率空间。,1.7 条件概率及概率计算公式 一、条件概率,设A、B是中的两个事件，即A、B F，则 (
15、1.7.1) 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。条件概率P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式 计算之外，也可在缩减的样本空间A里直接计算。,二、乘法公式,例1、一只盒子中混有100只新 、 红 白 旧乒乓球，各有红、白两色，分 新 40 30 类如右：若取得的是一只红球， 旧 20 10 试求该红球是新球的概率。,设A、BF，则P(AB)P(A)P(B|A). (1.7.2) 式(1.1.7)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.1.7)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.7.3)一般的，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P
16、(A2|A1).P(An|A1An1). (1.7.4),三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,定理1、设A1，, An是的一个划分，且P(Ai)0， (i1，n)，则对任何事件BF，有(1.7.5) 式(1.7.3)就称为全概率公式。,例3、某厂有三个车间生产同一种产品，已知三个车间 的产量分别占总产量的1/4、1/4、1/2，且次品率分别 为 2、1、3，试求该厂这种产品的次品率。,定理1、设A1，, An是的一个划分，且P(Ai) 0， (i1，n)，则对任何事件BF，有(1.7.6)式(1.7.4)就称为贝叶斯公式或逆概率公式。,例4 甲箱中有5个正品，3个次品；乙箱中 有4个正品
17、，3个次品，从甲箱任取3个产 品放入乙箱，然后再从乙箱中任取一个产 品。 （1）求从乙箱中取出的这个产品是正品 的概率； （2）如果从乙箱中取出的是正品，推测 它从甲箱中取出的各种情况，而造成的可 能性的大小。,1.8 事件的独立性 一、两事件独立,例1 一个口袋中有6个白球，4个黑球；从这个口袋中任取一个球，看过颜色后放回去，再从口袋中任取一个球，令A表示“第一次取得白球”，B表示“第二次取得白球”，求P（B）和P（ B|A）的概率。,定义1、设A、B是两事件，若P(B)P(B|A) (1.8.1) 则称事件A与B相互独立。 式(1.8.1)等价于：P(AB)P(A)P(B) (1.8.2)
18、,二、多个事件的独立,定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,定义2、若三个事件A、B、C满足： (1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.8.3) 则称事件A、B、C相互独立。,三、事件独立性的应用,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 in n，具有等式P(A i1 A i2 A in)P
19、(A i1)P(A i2)P(A in) (1.8.4) 则称n个事件A1，A2，An相互独立。,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则(1.8.5) 2、在可靠性理论上的应用,例2 称一个元件能正常工作的概率p为这个 元件的可靠性。称由元件组成的一个系统 能正常工作的概率为这个系统的可靠性。 设由3个元件按照下面两种联接方式构成系 统，若构成每个系统的元件的可靠性均为r (0r1)，且各元件能否正常工作是相互独 立的，求每个系统的可靠性。,1.9贝努里概型 一、贝努里(Bernoulli)概型,1.只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E。 E也叫做“ 成功失败试验”
20、,“ 成功” 的概率常用pP(A) 表示，其中A“ 成功”。 2.把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验， 记为En。 3.把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重 贝努里试验，记为E。,二、贝努里概型中几个重要事件的概率,以上三种贝努里试验统称为贝努里概型。,例3 在相同的条件下对目标进行三次独立的射击，每次射击击中目标的概率为p(0p1),不中的概率为q=1-p，试求三次恰好命中两次的概率。,1.En中成功k次的概率是2.E中首次成功发生在第k次试验的概率是3.E中第r次成功发生在第k次试验的概率是,第一章 复 习,一 随机试验、样本空间、随机事件及其关 系和运算 例
21、1 向指定的目标射三枪。以A1,A2,A3分别表示 “第一、二、三枪击中目标”，试用A1,A2,A3表示 以下各事件：（1）只击中第一枪； （2）只击中一枪；（3）三枪都未击中； （4）至少击中一枪。,二 概率的性质 例2 设P(A)=1/3,P(B)=1/2.求下列三种情况 下P( )的值；（1）A与B不相容；（2）AB；（3）P(AB)=1/8. 例3 已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B|A)=0.2, 求,三 古典概型与几何概型1 古典概型：（1）摸球问题； （2）取数问题；（3）分房问题; （4）配对问题； 例4某产品100件，其中3件次品，现从中 抽取3件（不放回抽样），
22、求下列事件的 概率：（1）三件中恰有二件次品；（2）第三次才抽到次品。,例5 假设有10层楼，在第一层楼有7个人上 了电梯，每个人在2楼以上的任一层下电 梯的可能性相同，问：（1）这7个人在不同的7层楼下电梯的概 率；（没有两位及两位以上的乘客在同一 层离开）（2）某指定的一层有两位乘客离开；（3）恰好有两位乘客在同一层离开；,2 几何概型 例6在区间（0，1）中随机的取两数，求 下列事件的概率：（1）两数之差的绝对值小于1/2；（2）两数之和小于0.8；（3）两数之积小于1/9；,三 条件概率、乘法公式及全概率公式 例7某商店某天开门后共有十箱牛奶出售， 已知其中有三箱牛奶已变酸，若你去购买
23、 第六箱牛奶（已出售五箱牛奶）。 1、求你碰巧买到已变酸你奶的概率； 2、若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶， 求已售出的五箱牛奶中恰好有两箱是已变 酸牛奶的概率。,第二章 离散型随机变量及其分布,随机变量的概念 一维离散型随机变量的分布律 二维离散型随机变量 离散型随机变量函数的分布律,2.1 随机变量的概念,实例1 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间 H,T 可规定随机变量XX() 随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。,实例2 设一口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的 六个球，取得的球上标有的数字X是随着试验结 果的不同而变化的。当试验结果确定后，X的值 也就相应的确定。实
24、例 3 对一目标进行连续独立的射击，直到命中 为止，这样所需的次数Y是随着试验结果的不同而 变化的。当试验结果确定后，Y 的值也就相应的确 定。,定义 设随机试验E的样本空间是，XX(), 是定义在上的一个单值实函数。若对任意实数x，样本点的集合| X()xXx是一随机事件，则X()称为随机变量，简记为X. 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z等表示 ，也可用希腊字母、等表示。 随机变量的分类：随机变量,2.2 一维离散型随机变量的分布律 一、分布律,1. 定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率 依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称 P
25、X=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或X x1 x2 xn P p1 p2 pn ,2. 分布律的性质 (1) pk 0, k1, 2, ; (2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3 只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2,例2 一个袋中有5个乒乓球，编号为1，2， 3，4，5，在其中同时取三个。以x表示取 出的三个球中的最大的号码，试求x的概率 分布。,二、几个常用的离散型分布,1. 退化分布(单点分布) XPXa1，其中a为常数。 2. (01)分布(两点分
26、布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，1 3. 几何分布XPXk (1p)k1 p, (0p1) k1, 2, 例3 某射手的射击命中率为3/4，现对一目标连续射击，直到第一次命中为止，令x表示第一次命中为止所使用的次数，试求的x的概率分布。,4. 二项分布B(n, p) XPXk pk(1p)nk, (0p1) k0, 1, 2, , 例4 在相同的条件下对目标进行三次独立的射 击，每次射击击中目标的概率为p(0p1),不中的 概率为q=1-p，试求三次射击中命次数X的概率分 布。,5. 负二项分布XPXk pr(1p)kr, kr, r+1, , ( r1, 0p1 ) 负二
27、项分布又叫巴斯卡(Pascal)分布，可记为NB(r, p). 6. 超几何分布 X,称X服从参数为(N, M, n)的超几何分布. 7. 泊松(Poisson)分布P()XPXk , k0, 1, 2, (0),三、常用分布律之间的关系,1. (01)分布和二项分布的关系 (01)分布是二项分布B(n, p)中n1时的特款； 2. 几何分布和负二项分布的关系 几何分布是负二项分布NB(r, p)中r1时的特款； 3. 超几何分布和二项分布的关系 定理1 设在超几何分布中，n是一个取定的正整数，而 则k0, 1, 2, , n,4. 二项分布和泊松分布的关系 定理2 设随机变量XnB(n, p
28、n), (n0, 1, 2, ), 且 为常数，则k 0, 1, 2, ,该定理也称为泊松定理。该定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小 时，二项分布就可近似地看成是泊松分布，即其中np. 一般的，当n10 ， p0.1时就可用泊松分布近似代替二 项分布。,例5 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数 不少于2的概率。 解 设X表示400次独立射击中命中的次数，则XB(400, 0.02)，故PX21 PX0P X110.98400(400)(0.02)(0.98399)0.997165. 另解(用泊松分布) 由于近似等于np(400)(0.02)8,
29、 故 近似地有PX21 PX0P X11(18)e80.996981. 这里用泊松分布近似计算的相对误差仅为0.0185%.,例6 在保险公司里2500名同一年龄和同社会 阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死 亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月 日须交12元保险费，而在死亡时可从保险公 司里领取2000元赔偿费，求 （1）保险公司亏本概率； （2）保险公司获利分别不少于10000元， 20000元的概率。,2.3二维离散型随机变量 一、联合分布律,若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二
30、维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),X Y y1 y2 yj x1 p11 p12 . P1j . x2 p21 p22 . P2j . Xi pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下：,例1 设随机变量X在1
31、，2，3，4四个整数 中等可能地取值，另一个随机变量在1X 中等可能地取一整数值，试求（X，Y）分 布律。,二、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )， 则称PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；PY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。,三、条件分布律,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )， X和Y的边缘分布律分别为PXxipi. ，i1, 2, 和PY yjp.j
32、 ，j1, 2, 若对固定的j, p.j0, 则称pi|j i= 1, 2, 为Y yj的条件下，X的条件分布律;,同理，若对固定的i, pi. 0, 则称pj|i j= 1, 2, 为X xi的条件下，Y的条件分布律;条件分布律也满足分布律的性质 例2 一射手进行射击，命中目标的概率为p (0p1)，射击进行到命中目标两次为止，现用X表示首次命中目标所进行的射击次数，用Y表示总共进行的射击次数。试求X和Y的联合分布律及边缘分布律。 解 由题意知（X，Y）的分布律为PX=m, Y=yp2(1p)n2， m=1, 2, , n1；n=2, 3, X服从参数为p的几何分布，其分布律为PX=mp(1
33、p)m1， m=1, 2, ,Y服从参数为 2、p的负二项分布，其分布律为PY=y(n1)p2(1p)n2， n=2, 3, (X和Y的边缘分布律也可由联合分布律求得)。 于是当n=2, 3, 时Pm|nPX=x|Y=y m1, 2, ,n1;当m=1, 2, 时Pn|mPY=y|X=x nm+1, m+2, ,四、离散型随机变量的相互独立性,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )， 若对任意的i、j，有pij pi. p. J，即PXxi, Y yj, PXxiPY yj 则称随机变量X与Y相互独立。上述概念不难推广到n维离散
34、型随机变量的情形。例 如，设X1，X2， , Xn分别可取 这些实值， 且对任意的i1, i2, ,in有则称随机变量X1，X2， , Xn相互独立。,例3 设随机变量X与Y相互独立且X与Y的联 合分布及关于X，Y的边缘分布列表如下； 填表中的未知数。Y y1 y2 y3 P(X=xi)Xx1 1/8x2 1/8P(Y=yi) 1/6 1,例4 设一箱装有100件产品，其中一、二、 三等品分别为80，10 ，10件，现从中任取 一件且求（1）二元随机变量X1与X2的联合分布；（2）X1与X2的边缘分布。,2.4 离散型随机变量函数的分布律 一、一维离散型随机变量函数的分布律,定理1 设X一个随
35、机变量，若yg(x)是一元单值实函数， 则Yg(X)也是一个随机变量。若 XPXxkpk, k1, 2, 则 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, 其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。显然，Y的分布律也满足分布律的性质。,例1 设随机变量x具有以下的分布率；试求 （1）y=x2 ;（2）y=x3 的分布率。x -1 0 1 2y 1/8 1/2 1/8 1/4,二、多维离散型随机变量函数的分布律,定理2 设X1，X2， , Xn一个n维随机变量，若y g(x1, x2, , xn)是一个n元实值函数，则Yg(X1，X2， , Xn)也是一个随机变量。以二维为例，若(X, Y)P(
36、Xxi, Yyk)pik ，i, k1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzl pl , l1, 2, ,例1设随机变量X1,X2,X3,X4 相互独立，且同分布PXi=0=0.6, PXi=1=0.4,(i=1,2,3,4)求行列式 的概率分布。,例2 设XP(1), YP(2)，且X与Y相互独立，求Z XY的分布律。 解 PZk PX+Y=kk0, 1, 2, 以上划线部分称为整值随机变量的卷积公式。,例3 设随机变量(X，Y)的分布律为Y X 0 1 2 3 4 50 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
37、2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05(1) 求PX=2|Y=2, PY=3|X=0;(2) 求WXY的分布律;(3) 求Vmax(X, Y)的分布律；(4) 求Umin(X, Y)的分布律。 解 (1) 因为 PY=20.25, PX=00.03, 故PX=2|Y=25/251/5; PY=3|X=01/3.,(2) 因为WXY可取值0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,故其分布 律为W 0 1 2 3 4 5 6 7 8P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19
38、 0.12 0.05(3) 因为Vmax(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 4, 5,故其分布律为V 0 1 2 3 4 5P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (4) 因为Umin(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 故其分布律为U 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17,第三章 连续型随机变量及其分,分布函数 一维连续性随机变量及其分布 二维连续性随机变量及其分布 连续性随机变量函数的密度函数,3.1 分布函数 一、分布函数的概念,定义 设X随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率 P Xx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x
39、)P Xx.易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2);2、非负规范性：对任意实数x，0F(x)1，且3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的 分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实 上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)，的联合F(X1, X2, , Xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机 变量X1
40、, X2, , Xn的联合分布函数。一般的，对离散型随机变量XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,三、实例,例1 设随机变量X具分布律 X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3 试求出X的分布函数。 解 其图形如下：,例2 设陀螺顶面圆周为单位圆，现在其上从01均匀刻 度，若让X表示陀螺静止时其顶面圆周与地面的接触点， 则X是随机变量，求X的分布函数。 解 其图形为： 易知，有,例3 设10件产品中恰好有2件次品，现在接 连进行不放回抽样,直到取到正品为止,求:（1）抽样次数X的分布；（2）X的分布函数；（3）PX=3.5,PX-2,P1X3.,3.2 一维连续性随机变量及其分布
41、一、密度函数,1. 定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数f(x)， (-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简 称概率密度或密度函数. 常记为X f(x) , (-x+) 密度函数的几何意义为,2. 密度函数的性质(1) f(x)0，(-x)； (2) 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；(3) 若x是f(x)的连续点，则f(x) 3. 对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0 事实上，从而，,例4 随机变量X的密度函数为求：（1）常数c;（2）X的分布函数；（3）X落在区间（-1/2，1/2）内的概率,二、几个常用的连续型分布
42、,1. 均匀分布若Xf(x) 则称X在(a, b)内服从均匀分布。对任意实数c, d (acdb)，都有这说明X落在(a, b)中任一区间的概率只与该区间的长度 成正比，而与该区间的位置无关，这就是均匀分布的概 率意义。,2. 指数分布若 X 则称X服从参数为0的指数分布。易知， 例 已知X 解 (1) 由 得, k1/2;(2),求(1) k的值; (2) P|X|1.,3. 正态分布若随机变量 其中 0 ，为实数，则称X服从参数为2，的正态分布, 记为N(, 2)，可表为XN(, 2).易知 f(x)0; 令 可得正态分布有三个特性：,(1) 单峰对称其图形关于直线x=对称；f()maxf
43、(x) .(2)有两个拐点( ，f () )；( ，f () )，(3) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖； 越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。正态分布也称为高斯(Gauss)分布。,4.标准正态分布参数0，21的正态分布称为标准正态分布， 可表为N(0, 1)。为了区别于一般的正态分布，其密度函 数表示为分布函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读 者查阅(x)的值。,注解：(1) (x)1 (x)；(2) 若XN(, 2)，则F(x)PXx正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3.3二维连续型随机变量及其分布 一、联合分布及边缘分布,1、联合分布函数设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称F(X, Y)=PXx, Yy 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。几何意义：对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,
