复变函数课件

1、第三章 复变函数的积分 （与实函数中二型线积分类比）,3.1 复积分的概念,线积分,复积分,一个复积分的实质是 两个实二型线积分,复积分存在的一个充分条件：,复积分的性质 ：,1 线性性：,例题1,（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。,解（1）,（2）参数方程为,可见积分与路径有关。,例题2,解：,例如,例题3,证明：,例如,练习,例题4,解：,可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。, 3.2 柯西积分定理,定理1（Cauchy）,如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:,注1：定理中的曲线C可以。

2、第三节 复变函数解析性,一、复变函数的导数与微分,二、解析函数的概念,三、解析的充要条件,四、解析函数与调和函数,2,一、复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,3,在定义中应注意:,4,例1,解,5,2.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,3.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.并且在复变函数中，处处连续而处处又不可导的函数几乎随手可得,6,例2,解,7,8,4.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一。

3、留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数.,令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而,其中。

4、第一章 复数与复变函数,1 复数 2 复平面上的点集 3 复变函数,1 复数,1 复数域 形如 或 的数，称为复数，其中 和 均是实数，称为复数 的实部和虚部，记为 ， ， 称为虚单位两个复数 ， 与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 且 虚部为零的复数可看作实数，即 ，特别地， ，因此，全体实数是全体复数的一部分实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数 和 称为互为共轭复数，记为或,设复数 ， ，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特。

5、复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。,第一章 复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 .,自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法。

6、复变函数与积分变换,第五章 留数,1. 孤立奇点,2. 留数,3. 留数在定积分计算上的应用,4. 对数留数与辐角原理,5. 第五章小结与习题,第一节 孤立奇点,孤立奇点的概念,1,函数的零点与极点的关系,2,小结与思考,4,函数在无穷远点的性态,3,一、孤立奇点的概念,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,1可去奇点,1可去奇点; 2极点; 3本性奇点.,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1) 定义,说明: (1),补充定义,2) 可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值。

7、 复、实变函数的比较与应用作 者：阮玲花 学 号：201310401205专 业：数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名：阮玲花 班级：数学 132 学号：201310401205数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。在中学我们主要了解学习了实变函数，与大。

8、复变函数与积分变换,第二章 解析函数,1. 解析函数的概念,2. 函数解析的充要条件,3. 初等函数,4. 平面场的复势,5. 第二章小结与习题,*第四节 平面场的复势,用复变函数表示平面向量场,1,平面流速场的复势,2,小结与思考,4,静电场的复势,3,一、用复变函数表示平面向量场,平面定常向量场:,向量场中的向量都平行于某一个平面S , 而且在垂直于S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的; 场中的向量也都与时间无关.,显然，向量场在所有平行于 S 的平面内的分布情况是完全相同的， 可以用So 平面内的场表示.,例如, 一个平面定常流速场(如河水。

9、第二章 解析函数,1. 复变函数的定义2. 映射的概念3. 反函数或逆映射,复变函数的概念,2.1 复变函数的概念、极限与连续性,1. 复变函数的定义,与实变函数定义相类似,定义2.1设E是复平面上的点集, 若对任何z=x+iyE, 都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应, 则称在 E上确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.,E 称为该函数的定义域.,该函数的值域为：,例1,例2,实部等于实部虚部等于虚部,在几何上， w=f(z)可以看作：,2. 映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量。

10、考试安排,主要内容,复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。,Cauchy - Riemann 方程：(1) 判断可导与解析，求导数；,Fourier 变换的概念, 函数，卷积。,Cauchy 积分公式，Cauchy 积分定理，高阶导数公式。,Laurent 展式。,留数：(1) 计算闭路积分；,保形映射：(1) 求象区域；,利用 Laplace 变换求解常微分方程(组) 。,(2) 构造解析函数。,(2) 计算定积分。,(2) 构造保形映射。,一、构造解析函数,一、构造解析函数,( 仅考虑已知实部 u 的情形 ),(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：,其中， 已知，而 待定。,(3) 将 (C 。

11、一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,第三节 留数在定积分计算上的应用,四、小结与思考,一、形如 的积分,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,例1 计算积分,解,则,例2 计算,解,令,极点为 :,(在单位圆内),(在单位圆外),例3,解,故积分有意义.,因此,若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可先讨。

12、复变函数与积分变换(第二版)华中科技大学数学系教师 黄志祥(博士),参考教材,1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月. 2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月. 3. MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006. 4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林 编，西北工业大学出版社, 2001年1月.,01744/12,教学方式与要求,方式板书结合PPT源于课本稍高于课本 要求适当做笔记按质完成作业,复变函数,积分变换,解析函数(导数),复变积分,两者关系:,。

13、第一章对于任意实数 x 和 y 为复数，其中 i= 称为虚数单位。1复数 z 的实部和虚部分别，x=Rez ，y=Imz。任何一个复数 z 都有无穷多个辐角，他们之间相差 2 的一个倍数，记为z= +2n （n=0， ） 。满足 的辐角 是惟一的，称为Arg1,2 00z 的主值，记为 =argz。 0arg 可以通过复数 z 的实部 x 与虚部 y 用主值规定在区间（ ， ）上的反正切函数2arctg 来确定，其关系如下：argz=yxarg,zarg,txytx ， 象 限在 第 在 第 象 限在 第 象 限复数的 3 种表示方法： z=x+iy z=r （ +i ） z= cosinrie = +i iecosin两个复数乘积的模等于它们模的乘积，。

14、1,第一篇 复变函数论,第一章 复变函数 第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场 第六节 多值函数,数学物理方法,3,第一篇 复变函数论,第一章 复变函数 第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场 第六节 多值函数,4,第一篇 复变函数论,第一章 复变函数 第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场 第六节 多值函数,重点： 复数的概念、无限远点的定义.,难点： 主辐角、复数“零”、无限远点,5,（复数。

15、第一章 复数与复变函数,第二节 复变函数的极限与连续性,作业：P30 18;22(2,4,6,8,10);24；26;30。,2.1 复平面上的区域,邻域,内点,开集,全体内点构成的集合,内部intD.,边界点,中，既有属于D的点，又有不属于D的点.,边界,邻域,边界点,边界,外部,闭区域,有界区域和无界区域,区域D,邻域,区域,连通的开集,单连通域与多连通域,单连通域,多连通域,区域D,区域D,(1) 圆环域:,例1 判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,解,(1)有界域,(2)无界域,(3)无界域,(4)无界域,如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时,连续曲线,光滑曲线。

16、1.5 复变函数,1. 复变函数的定义,定义 设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.,例如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 因而函数 w = z2 对应于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy,注意: 在以后的讨论中, D常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.,2. 映射的概念,函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 。

17、1,复变函数与积分变换,授课人戴振宏烟台大学光电信息学院 地址：科技馆 1217E-Mail: dzhtsinghua.edu.cnzhdaiytu.edu.cn Tel: 13954524566 （Mobile） 6901947 （O),2,为什么要学习这门课程？,目前整个人类知识分为三大学科门类 （1）自然科学研究自然界万物基本变化规律的 （2）工程技术利用已有科学知识进行技术实用化 （3）社会科学研究社会发展变化规律的实际上，每一门学科都有其研究对象和其内在的变化规律，其研究分为定性研究和定量研究，而要想真正理解研究对象的性质和规律，最终需要定量研究，这就离不开数学。 数学的发展1、。

18、第五章 解析函数的洛朗展式 与孤立奇点,1. 解析函数的洛朗(Laurent)展式 2.解析函数的孤立奇点 3.解析函数在无穷远点的性质 4.整函数与亚纯函数的概念,1.1 双边幂级数1.2 解析函数的洛朗展式1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系 1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,1. 解析函数的洛朗(Laurent)展式,引言： 由4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以 在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析， 那么，f (z)能否。

19、3 泰勒级数,设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.,按柯西积分公式, 有,且,由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.,q与积分变量z无关, 且0q1.,K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.,因此, 下面的公式在K内成立:,称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数.,圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距。