1、第三节 复变函数解析性,一、复变函数的导数与微分,二、解析函数的概念,三、解析的充要条件,四、解析函数与调和函数,2,一、复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,3,在定义中应注意:,4,例1,解,5,2.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,3.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.并且在复变函数中，处处连续而处处又不可导的函数几乎随手可得,6,例2,解,7,8,4.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中
2、的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,9,10,二、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,11,2. 奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,12,例3,解,13,课堂练习,14,小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法.,注意: 复变函数的导数定义与一元实变
3、函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.,15,思考题,16,思考题答案,反之不对.,17,三、函数解析的充要条件,1. 柯西黎曼(C-R)条件的由来：,20,总结我们上面的讨论，能得到函数在一点可微的必要条件,注意：上述条件不是充分的,21,定理一 可微的充分必要条件,关于定理一的说明：,3. 函数解析的充要条件,1.二元实函数可微的充分条件,2.求导公式,1. 二元实函数可微的充分条件,若二元函数 u 和 v 在区域 D 内具有一阶连续偏导数，则 u 和 v 在区域 D 内可微. 注意不是必要条件,2.记住求导公式,24,根据二元实函数可微的充分条件，可以得到函数 在区域D内一点可微的充分条件,3. 函数在区域内解析的充要条件,26,解析函数的判定方法:,27,典型例题,解,不满足柯西黎曼方程,28,四个偏导数均连续,指数函数,29,四个偏导数均连续,30,例2,证,31,例3,解,32,例4,证,33,小结与思考,在本课中我们得到了一个重要结论函数 解析的充要条件:,掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.,34,1 函数 在何处 可导，何处解析.,4 已知 求解 析函数 ,使符合条件,
