1、第五章 解析函数的洛朗展式 与孤立奇点,1. 解析函数的洛朗(Laurent)展式 2.解析函数的孤立奇点 3.解析函数在无穷远点的性质 4.整函数与亚纯函数的概念,1.1 双边幂级数1.2 解析函数的洛朗展式1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系 1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,1. 解析函数的洛朗(Laurent)展式,引言： 由4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以 在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z -
2、z0R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？（本章要讨论的问题）,例如:,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。,1.1 双边幂级数,-含有正负幂项的级数,定义 形如,-称为双边幂级数,正幂项(包括常数项)部分：,负幂项部分：,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散。,定理5.1,(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,1.2 解析函数的洛朗展式,定理,证明 由复连
3、通域上的Cauchy积分公式：,式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子：,证毕！,注：,(2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。,展开式的唯一性,结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。,事实上，,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只
4、有 在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系 数的方法。,1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系,一个函数f(z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。此时的圆可以看成圆环的特殊情况。其中 的都等于零(由系数公式可看出)。因此泰勒级数是洛朗级数的特殊情况。,例1,解:,没 有 奇 点,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：,例2,解,1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,例3,解,例4,解,解 (1) 在(最大的)去心邻域,例5,(2) 在(最大的)去心邻域,练习：,(2)根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数。,(3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R, 找出收敛域。Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成级数。,
