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类型复变函数与积分变换5.1孤立奇点.ppt

  • 上传人:hyngb9260
  • 文档编号:7088501
  • 上传时间:2019-05-05
  • 格式:PPT
  • 页数:13
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    复变函数与积分变换5.1孤立奇点.ppt
    资源描述:

    1、第五章 留数,1 孤立奇点,函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.,函数 f (z)在它的孤立奇点z0的某去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数. 孤立奇点的分类:,可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤 立奇点z0称为 f (z)的可去奇点.,这时, f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n + 0|z-z0|d ,则在圆域|z-z0|d 内就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +., 从而函数 f (z)在z0

    2、就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.,2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即 f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点.,上式也可写成,其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 .,反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0)

    3、0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.,如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有,3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,4.函数的零点与极点的关系,不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成f (z) = (z-z0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0, m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.,例如当 f (z)=z(z-1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.,根据这个定义, 我们可以得到以下结论:

    4、 如 f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m级零点的充要条件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 .,这是因为, 如果 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+, 易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0, cm0, 这等价于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 。,例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 0, 从而知 z=1是f (z)的一级零点.,定理 如果 z0是 f (z)的m级极点, 则z0就是 的m级零点,反过来也成立.,例 2,例 3,对 讨论函数 在 处的性态。,5. 函数在无穷远点的性态 如果函数 f (z)在无穷远点 z= 的去心邻域 R|z|内解析, 称点为 f (z)的孤立奇点.,又 .这样, 我们可把在去心邻域R|z|+对f (z)的研究变为在 内对j (w)的研究.显然j (w)在 内解析, 所以w=0是孤立奇点.,f(z)在z=0处洛朗展式中,不含正幂项,则z=为可去奇点; 含有限多项的正幂项且最高项为zm,则z=为m级极点; 含有无穷多项的正幂项,则z=为本性奇点。,

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