1、复变函数与积分变换,第二章 解析函数,1. 解析函数的概念,2. 函数解析的充要条件,3. 初等函数,4. 平面场的复势,5. 第二章小结与习题,*第四节 平面场的复势,用复变函数表示平面向量场,1,平面流速场的复势,2,小结与思考,4,静电场的复势,3,一、用复变函数表示平面向量场,平面定常向量场:,向量场中的向量都平行于某一个平面S , 而且在垂直于S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的; 场中的向量也都与时间无关.,显然，向量场在所有平行于 S 的平面内的分布情况是完全相同的， 可以用So 平面内的场表示.,例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面),平面电场强度向量为,二、平面
2、流速场的复势,1. 流函数:,如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),2. 势函数:,3. 平面流速场的复势函数:,在单连域内可以作一个解析函数,给定一个单连域内的无源无旋平面流速场，就可以构造一个解析函数它的复势与之对应；反之，如果在某一区域（不管是否单连）内给定一个解析函数，就有以它为复势的平面流速场对应，并可以写出该场的流函数和势函数，得到流线与等势线方程，画出流线和等势线的图形, 即得描绘该场的流动图象.,例1,解,例2,解,由对称性,因为流体不可压缩,流过圆周的流量为,蓝色为等势线, 红色为流线.,(流动图象如下),解,例3,与例2类似,沿圆周的环流量为,对比例1和例2的结果,因
3、此,只须将例2图中流线与等势线位置互换, 即可得涡点所形成的场的流动图象.,蓝色为流线, 红色为等势线.,三、静电场的复势,当场内没有带电物体时, 静电场无源无旋.,与讨论流速场一样,就是说, 等值线就是向量线, 即场中电力线.,在B内可决定一个解析函数,利用静电场的复势, 可以研究场的等势线和电力线的分布情况, 描绘出场的图象.,例4,解,因为导线为无限长, 因此垂直于 xoy 平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的.,又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消, 只剩下与 xoy 平面平行的分量.,故所产生的静电场为平面场.,由库仑定律,四、小结与思考,了解复变函数可表示平面向量场, 对于某单连通域内给定的平面无源无旋场, 可以作出一解析函数(称为该场的复势), 统一研究该场的分布和变化情况.,Thank You!,再见！,
