复变函数第一章复数与复变函数

1、1.2 复数的乘幂与方根,注:,1.2.1 复数的乘幂,解:,解:,1.2.3 复数的方根(乘幂的逆运算),注:,解:,因为,所以,即,四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,1.3 平面点集,平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻域.,1.3.1 区域,设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件。

2、1,2019/4/18,第一章 复数与复变函数, 1 复数, 2 复平面上的点集, 3 复变函数, 4 复球面与无穷远点,2,2019/4/18,第一节 复数,1. 虚数单位:,对虚数单位的规定:,一、复数的概念,虚数单位的特性:,2.复数:,3,2019/4/18,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.,二、复数的代数运算,1. 两复数的代数和:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,4. 共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,4,2019/4/18,6. 共轭复数的性质:,例1,。

3、1,复变函数论,主讲人 周金华,2,第一章复 数,复平面,复数的球面表示 扩充复平面,第一章总结与习题,复数的几何意义,复数的定义及其代数运算,序言,引言,3,复变函数论产生于十八世纪.1774年,Euler(欧拉)在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中,就已经得到了它们.因此,后来人们提到这两个方程,把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪,上述两个方程在Cauchy(柯西)和Riemann(黎曼)研究流体力学时,作了更详细的研究,所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件(C-R。

4、复变函数与积分变换,第一章 复数与复变函数,1. 复数及其代数运算,2. 复数的几何表示,3. 复数的乘幂与方根,4. 区域,5. 复变函数,6. 复变函数的极限和连续性,第一章 复数与复变函数,重点与难点,1,内容提要,2,典型例题,3,一、重点与难点,重点：,难点：,1. 复数运算和各种表示法,2. 复变函数以及映射的概念,1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域,2. 映射的概念,二、内容提要,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线 与区域,判别定理,极限 的计算,1.复数。

5、1,2,一 以班为单位买练习册（每册五元）时间：本周周一周六（上午，下午，晚上）；地点：科技楼南楼609；,二 每周一次答疑时间：周二 晚上:；地点：科技楼南楼813；,三 结业成绩分配平时成绩: 20%；期末考试成绩: 80%,每周一收发作业（练习册）,通 知,3,本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。,其中，带 “*” 号的内容本课堂不需要掌握。,积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。,二、教学内容,4,第一章 复数与复变函数,5,1.1 复数,6,一、复数及其运算,1. 复数的基本概念,(或者 ),的数称为复数。,(2) x 和 y 分别称为复数 z 。

6、目录 上页 下页 返回 结束,总评成绩：,平时20%：第一周, 五一一周, 期中期末各两周不交作业, 共10次作业, 每次作业10分, 共100分, 点名不到一次扣10分.,期中20%,期末60%,1. 考试80%:平时作业及例题; 10%:定理定义; 10%:其它.,2. 考试题型主要是计算题, 证明 题, 无填空题及选择题.,本课程基础：数学分析 由于上课课时较少,只讲解1-6章,其中打*部分不讲解.,参考书:复变函数论(第三版)钟玉泉,高等教育出版社,希望抄笔记, 本课程较难, 大家重视!,第一章 复数与复变函数,目录 上页 下页 返回 结束,1 复数及其几何表示1.复数域；2.复平面；3.复。

7、复变函数与积分变换,复变函数与积分变换及应用背景,(古今数学思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作 者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十 九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个 新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的 直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学 分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢 呼为抽象科学中最和谐的理论之一.,的概念, 从而建立了复变函数理论.,为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数,复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 数的积分.,说: 实域中两个真。

8、1,数学物理方法,济南大学理学院 张仲 教授,2,数学物理方法课程的起源与研究对象,起源 物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多 实际物理问题。可定量解决实际物理问题就需要数学描述，而在数学描述遇到的数学问题也是需解决的,这就派生出一些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数学物理方法这一课程 。,研究对象 研究物理问题中遇到的数学方程求解方法以及解这些方程需要的复变函数的基础知识。这些方程常常是偏微分方程。,3,本教材包括的内容与学习方法,复变函数,数学物理方程,教学内容,4,一、对于复变函数部分，注意以下。

9、一、教学及考核方式,作业： 每周一交一次,课堂教学： 48学时,二、教学内容,本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。,积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。,参考书,1、余家荣，复变函数，高等教育出版社，2003年 2、钟玉泉复变函数第三版，高等教育出版社， 2004年 3、杨林生，乔玉英，复变函数，高等教育出版社，2001年 4、华中科技大学数学系，复变函数与积分变换，高等教育出版社，2008年,复变函数与积分变换及应用背景,（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992) (古今数学思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的。

10、复变函数 与积分变换,厦门工学院 数学教研室 王 锋,2,教材与参考用书,教材：复变函数与积分变换（第三版）, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社,参考书1 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解, 华中科大, 高等教育出版社,参考书2 复变函数, 西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社,参考书3 积分变换, 东南大学, 高等教育出版社,3,目 录,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 解析函数的级数表示,第五章 留数及其应用,第八章 傅立叶变换,第九章 拉普拉斯变换,第一章 复数与复变函数,4,第一章 复数与复变函数,内容提要：复。

11、1复变函数复变函数殷 德 京湖北师范学院物理系2006 年2第一章 复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念 1在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。为此，需要扩大数系。我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对 作代数组合所确定的形如 的数称为（代数形式的）复数，记为),(yxiyx，z其中， 满足 。我们称 为虚单位；实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，并记为 ，i12i zzxRe。zyIm特别地，当 时， 是实数；当 时且 时，0IzxzxRe00ReImz称为纯虚数；虚部不为零的复数称为。

12、1,第一章 复数与复变函数,内 容 提 要复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学 习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的 点集、复变函数极限、连续本章中的许多概念在 形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可 以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数 域中的推广,2,第一章 复数与复变函数,1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大与复球面（不讲） 1.5 复变函数,3,第一节 复数,一、复数的基本概念 (p1),4,5,二、复数的代数运算(p2),1. 复数的和、差、积、商、模,和与差：,积：,商：,注：复数。

13、引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月复数是 世纪人们在解代数方程16时引入的年，意大利数学物理学家 （卡丹）在所著重要的艺术一书中列154HCardnA出将 分成两部分，使其积为 的问题，即求方程 的根，它求出形式的根为 040(0)x和 ，积为 152(15)但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的因而复数在历史上长期不能为人民所接受 “虚数”这一名词就恰好反映了这一点直到十八世纪， （达朗贝尔）： （欧拉）等人逐步阐明了复数,DAlembrtLEulerA的几何意义与物理意义，建立了系统的复。

14、第一章 复数与复变函数,授课教师：邓婉玲 电话：85222481 （办公室） Email: dwanling126.com,学习本课程的基本要求和注意事项,课前课后应做好预习和复习； 按时、准时上课，不得无故迟到、早退和缺席；加强点名； 上课认真听讲，保持良好的课堂秩序； 课后按时完成作业； 严格执行学校有关课堂教学的规章制度。,复变函数与积分变换,教材： 复变函数与积分变换（第二版），哈尔滨工业大学数学系组编，盖云英、包革军编，科学出版社，2007年。,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变函数之间的相互依赖关系， 具体地就是。

15、主讲教师 薛有才,复变函数与积分变换,2,教师简介：薛有才，教授，山西临猗人。主要研究方向为：计算数学、数学教育、科学技术哲学。主要讲授课程为：大学数学、高等代数、解析几何、概率与统计、数值分析、信息与编码、数学文化学、宏观经济学等。,3,联系方式：办公室：浙江科技学院教学A区：A3-217(2)；办公室电话：85070711；短号：633317Email：xueyoucaisohu.com.欢迎各位同学用电子邮件进行经常的联系！,4,学习方法：,注意参照与对比高等数学有关的概念与方法来理解复变函数，但注意复变函数又有那些地方不同于实变函数的。,要求：,1。

16、复变函数 与积分变换,主讲：王兴波教授二零一零年九月,佛科院多媒体课件,2019/4/19,2,为什么要学这门课？,理解电学、磁学、电磁学理论的需要。记得中学电学理论里面的安培环流定律？麦克斯韦电磁场方程吗？他们都是基于复变函数的形式推导出来的。 研究电学、磁学、电磁学理论的需要。将来我们要进一步学习、深造，就需要相应的数学知识。对于电子专业的学生，本课程就是基础之一。 深层次科学技术理论的基础。人类对太空的探测已经不是新鲜事，但是很多新鲜的东西要借助各种数学理论来研究。,2019/4/19,3,学习本课程的基础,n 高等数学、。

17、第一章 复数与复变函数,1.1 复数,1.2 复平面点集,1.3 扩充复平面及其球面表示,（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992) (古今数学思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.,的概念, 从而建立了复变函数理论.,为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数,复变函数理论可以应。

18、第一章 复数与复变函数,1 复数 2 复平面上的点集 3 复变函数,1 复数,1 复数域 形如 或 的数，称为复数，其中 和 均是实数，称为复数 的实部和虚部，记为 ， ， 称为虚单位两个复数 ， 与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 且 虚部为零的复数可看作实数，即 ，特别地， ，因此，全体实数是全体复数的一部分实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数 和 称为互为共轭复数，记为或,设复数 ， ，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特。

19、复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。,第一章 复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 .,自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法。