1、复变函数与积分变换,第一章 复数与复变函数,1. 复数及其代数运算,2. 复数的几何表示,3. 复数的乘幂与方根,4. 区域,5. 复变函数,6. 复变函数的极限和连续性,第一章 复数与复变函数,重点与难点,1,内容提要,2,典型例题,3,一、重点与难点,重点：,难点：,1. 复数运算和各种表示法,2. 复变函数以及映射的概念,1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域,2. 映射的概念,二、内容提要,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线 与区域,判别定理,极限 的计算,1.复数的概念,1) 两复数的和
2、,2) 两复数的积,3)两复数的商,2. 复数的代数运算,4)共轭复数,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,共轭复数的性质,3.复数的其它表示法,（1）几何表示法,（2）向量表示法,复数的模(或绝对值),模的性质,三角不等式,复数的辐角,辐角的主值,（3）三角表示法,利用欧拉公式,复数可以表示成,称为复数 z 的指数表示式.,（4）指数表示法,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,4.复数的乘幂与方根,1) 乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,则有,几何意义,复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.,从几何上看, 两复数
3、对应的向量分别为,两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,则有,2) 幂与根,(a) n次幂:,(b)棣莫佛公式,5.复球面与扩充复平面,南极、北极的定义,(1) 复球面,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,复球面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平
4、面称为有限复平面, 或简称复平面.,对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,(2) 扩充复平面的定义,6.曲线与区域,（1）邻域,（2）内点,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集.,(4) 区域,如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域.,(a) D是一个开集；,(b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,(3) 开集,(5) 边界点、边界,设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.,(7)有界区域和无界区域,D的所有边界点组成D的边
5、界.,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).,(8) 简单曲线,(9) 光滑曲线,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,任意一条简单闭曲线将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,简单闭曲线的性质,(10) 单连通域与多连通域,复平面上的一个区域，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于，就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域，就称为多连通域.,从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.,7. 复变函数的概念,(1)复变函数的定义,(2) 映射的定义,函数极限的定义,注意:,8.复变函数的极限,极限计算的定理,与实变函数的极限运算法则类似.,极限运算法
6、则,（1）连续的定义,9.复变函数的连续性,连续的充要条件,连续的性质,有理整函数(多项式),有理分式函数,特殊的:,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,三、典型例题,其几何意义是三角形任意一边的长不小于 其它两边边长之差的绝对值.,解,解,解,例6 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.,解 是实数轴,不是区域.,是以 为界的带形单连通区 域.,解,是以 为焦点,以3为半 长轴的椭圆闭区域,它不是区 域.,不是区域，因为图中,解,解,在圆环内的点不是内点.,例7 函数 将 平面上的下列曲线变成 平 面上的什么曲线？,解,又,于是,表示 平面上的圆.,(1),解,表示 平面上以 为圆心， 为半径的圆.,Thank You!,再见！,
