1、第一章 复数与复变函数,1 复数 2 复平面上的点集 3 复变函数,1 复数,1 复数域 形如 或 的数，称为复数，其中 和 均是实数，称为复数 的实部和虚部，记为 ， ， 称为虚单位两个复数 ， 与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 且 虚部为零的复数可看作实数，即 ，特别地， ，因此，全体实数是全体复数的一部分实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数 和 称为互为共轭复数，记为或,设复数 ， ，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的,复平面,从上述复数
2、的定义中可以看出，一个复数 实际上是由一对有序实数 唯一确定因此，如果我们把平面上的点 与复数 对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系由于 轴上的点和 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称 轴为实轴，称 轴为虚轴，这样表示复数 的平面称为复平面或 平面图1.1,3复数的模与幅角,由图1-1中可以知道，复数 与从原点到点 所引的向量 也构成一一对应关系（复数 对应零向量）从而，我们能够借助于点 的极坐标 和 来确定点 ，向量 的长度称为复数 的模，记为显然，对于任意复数 均有 ， ，另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式（三角形两边之和第三边，图
3、1-2）（三角形两边之差第三边，图1-3） (1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数 ， 分别与 及 所表示的三个向量共线且同向,图1.2 图1.3,向量 与实轴正向间的夹角 满足 称为复数 的幅角(Argument)，记为 由于任一非零复数 均有无穷多个幅角，若以 表示其中的一个特定值，并称满足条件的一个值为 的主角或 的主幅角，则有注意：当 时，其模为零，幅角无意义从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数 ，即有同时我们引进著名的欧拉 公式：则 可化为,(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复
4、数的乘除有因此 ，公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 ， 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当 时可得此即说明单位复数 乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度,另外，也可把公式(1.11)中的 换成 （某个特定值），若 为主值时，则公式两端允许相差 的整数倍，即有公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当 时，有当 时，就得到熟知的德摩弗 公式：,例1.1 求 及 用 与 表示的式子 解：,4.曲线的复数方程,例1.2 连接 及 两点的线段的参数方程为过 及 两点的直线的参数方程为例1.3 平面上以原点为
5、心， 为半径的圆周的方程为平面上以 为心， 为半径的圆周的方程为例1.4 平面上实轴的方程为 ，虚轴的方程为 .,作业:第42页 2,3,4,2 复平面上的点集,1几个基本概念 定义1.1 满足不等式 的所有点 组成的平面点集（以下简称点集）称为点 的 ，记为 显然， 即表示以 为心，以 为半径的圆的内部定义1.2 设 为平面上的一个点集，若平面上一点 的任意邻域内具有 的无穷多个点，则称 为 的内点定义1.3 若 的每个聚点都属于 ，则称 为闭集若 的所有点均为内点，则称 为开集定义1.4 若 ， ，均有 则称 为有界集，否则称 为无界集,2.区域与约当(Jordan)曲线,定义1.5 若非
6、空点集 满足下列两个条件：(1) 为开集(2) 中任意两点均可用全在 中的折线连接起来，则称 为区域（图） 定义1.6 若 为区域 的聚点且 不是 的内点，则称 为 的界点， 的所有界点组成的点集称为 的边界，记为 ，若 ，使得 ，则称 为 的外点 定义1.7 区域 加上它的边界 称为闭区域，记为,例1.5 平面上以点 为心， 为半径的圆周内部（即圆形区域）：例1.6 平面上以点 为心， 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周 为边界，且均为有界区域 例1.7 上半平面下半平面它们都以实轴 为边界，且均为无界区域左半平面右半平面它们都以虚轴 为边界，且均为无
7、界区域,例1.8 图1.4所示的带形区域表为 . 其边界为 与 ，亦为无界区域 例1.9 图 所示的圆环区域表为 其边界为 与 ，为有界区域 定义1.8 设 及 是两个关于实数 在闭区间 上的连续实数，则由方程,所确定的点集 称为 平面上的一条连续曲线，(1.13)称为 的参数方程， 及 分别称为 的起点和终点，对任意满足及 的 与 ，若 时有 ，则点 称为 的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）； 的简单曲线称为简单闭曲线若在 上时， 及 存在节不全为零，则称 为光滑（闭）曲线,定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线 定理1.1（约当定理） 任一简单闭曲线
8、 将平面 唯一地分为 、 、 三个点集（图1.5），它们具有如下性质： (1)彼此不交 (2) 与 一个为有界区域（称为 的内部），另一个为无界区域（称为 的外部） (3)若简单折线 的一个端点属于 ，另一个端点属于 ，则 与 必有交点 对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿 绕行一周时， 的内部（或挖）始终在 的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称 为的正方向（或负方向） 图1.5,定义1.10 设 为复平面上的区域，若 内任意一条简单闭曲线的内部全含于 ，则称 为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域 例如，例1.51.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的
9、区域为多连通区域,作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9,3 复变函数,1复变函数概念 定义1.11 设 为一复数集，若存在一个对应法则 ，使得 内每一复数 均有唯一（或两个以上）确定的复数 与之对应，则称在 上确定了一个单值（或多值）函数 ， 称为函数 的定义域， 值的全体组成的集合称为函数 的值域例如 ， 及 均为单值函数， 及 均为多值函数 今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数,设 是定义在点集 上的函数，若令 ， 则 、 均随着 、 而确定，即 、 均为 、 的二元实函数，因此我们常把 写成 若 为指数形式， ， 则又可表为 其中 ， 均为 、 的二元实函
10、数 由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 上的点集和复平面 上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）故今后我们也不再区分函数、映射和变换,2. 复变函数的极限和连续性,定义1.12 设 于点集 上有定义， 为 的聚点，若存在一复数 ，使得 ， ，当 时有 则称 沿 于 有极限 ，记为,可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质： (1)若极限存在，则极限是唯一的 (2) 与 都存在，则有另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：,定理1.2 设函数
11、 于点集 上有定义， 为 的聚点，则 的充要条件 及,与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质： (1)若 ， 沿集 于点 连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母 不为零）沿点集 于 连续 (2)若函数 沿集 于 连续，且 ，函数 沿集 于 连续，则复合函数 沿集 于 连续 其次，我们还有 定理1.3 设函数 于点集 上有定义, ,则 在 点连续的充要条件为： , 沿 于 点均连续.,例1.10 设 试证 在原点无极限,从而在原点不连续. 证明：设 ,则因此故 不存在,从而在原点不连续.,定义1.14 若函数 在点集 上每一点都连续,则称 在 上连续,或称 为 上的连续函数. 与数学分析相同,在有界闭集 上连续的复变函数具有以下性质： （1）在 上 有界,即 ,使得 （2） 在 上有最大值和最小值. （3） 在 上一致连续,即 , 使对 上任意两点 , ,只要 就有,作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17,
