1、目录 上页 下页 返回 结束,总评成绩：,平时20%：第一周, 五一一周, 期中期末各两周不交作业, 共10次作业, 每次作业10分, 共100分, 点名不到一次扣10分.,期中20%,期末60%,1. 考试80%:平时作业及例题; 10%:定理定义; 10%:其它.,2. 考试题型主要是计算题, 证明 题, 无填空题及选择题.,本课程基础：数学分析 由于上课课时较少,只讲解1-6章,其中打*部分不讲解.,参考书:复变函数论(第三版)钟玉泉,高等教育出版社,希望抄笔记, 本课程较难, 大家重视!,第一章 复数与复变函数,目录 上页 下页 返回 结束,1 复数及其几何表示1.复数域；2.复平面；
2、3.复球面及其无穷大 2 复平面的点集4.初步概念；5.区域曲面,第一次课,(3) x , y 分别称为z 的实部与虚部，记为x = Re (z) ,(1) z = x + y i 称为复数,其中x, y为实数,i为虚数单位.,一. 复数域,1 复数及其几何表示,1、复数的定义,y = Im (z) .,称为 x + y i 的共轭复数 .,目录 上页 下页 返回 结束,2. 当x = 0 时，称 z = y i 为纯虚数 .,3. 两个复数,当y = 0 时，称 z = x 为实数 .,目录 上页 下页 返回 结束,2. 复数的代数运算,(1)、运算法则：,(1) 加减法:,(2) 乘法:,
3、(3) 除法:,目录 上页 下页 返回 结束,(2)、运算规律：,交换律 , 结合律 , 分配律均成立 .,3、共轭复数的运算法则,目录 上页 下页 返回 结束,解：,【例1】设,求,目录 上页 下页 返回 结束,证明：,证明,【例2】设,目录 上页 下页 返回 结束,二. 复平面,1、复平面的定义,目录 上页 下页 返回 结束,目录 上页 下页 返回 结束,2、用向量表示复数,加法满足平行四边形,及三角形法则,三、复数的模与辐角,复数有大小和方向,1. 大小(长度/模)：, 有无穷多个,2. 方向(辐角 ) :,与 x 轴正向的夹角,每个辐角相差 2.,目录 上页 下页 返回 结束,z1与z
4、2的距离：,重要结论 ：,3. arg z 的求法,(1) x, y 至少有一个在轴上(不妨设 x 0, y 0),目录 上页 下页 返回 结束,3. arg z 的求法,(1)x, y 均不在轴上,目录 上页 下页 返回 结束,例如：,4、模的性质,目录 上页 下页 返回 结束,5. 复数的三角形式，指数形式,三角形式：,指数形式：,目录 上页 下页 返回 结束,公式：,解 ：由,为三角形式，指数形式.,【例3】化,三角形式：,指数形式：,目录 上页 下页 返回 结束,6. 复数在几何上的应用,目录 上页 下页 返回 结束,【例4】平面曲线用复数表示,7. 复数乘积与商的模和辐角,(1) 乘
5、积的模和辐角,模,辐角,目录 上页 下页 返回 结束,对于Arg(z1z2)的任一值, 一定有Argz1 及Argz2,注意：,的各一值与之对应.,目录 上页 下页 返回 结束,推广:,模:,辐角:,目录 上页 下页 返回 结束,(2) 商的模和辐角,模,辐角,相当于将 z 逆时针旋转度.,表示 a 与 b 的一个夹角.,说明：,相当于将 z 顺时针旋转度.,解: 设 z 为该圆上异于a , b , c的任意一点,则,目录 上页 下页 返回 结束,表达式为：,a-z 与,b-z 的夹角和a-c与b-c 的夹角相等或互补，,【例5】 写出复平面C上过不共线的三点a , b , c 的圆的表达式,
6、从而,目录 上页 下页 返回 结束,【作业】 P13 1(3)，4，5(3),8, 9(1),四. 复数的乘幂与方根,1、乘幂,(1) 定义：称,为z的n次幂 .,(3) 当|z|=1时，,此式称为棣莫弗(De Moivre )公式 .,(2) 定义：z n = 1 / z n，则,目录 上页 下页 返回 结束,设,对于任意整数m,第二次课,2、方根,(1) 定义：称 z 的 n 次方根为,(2) 求法：设,则由,有,于是得求根公式,目录 上页 下页 返回 结束,显然有,(3) 说明, 由于只有n个根, 所以当kn时重复出现;, z的n个不同的n次方根,其模相等,辐角相差2/ n;, n个根表
7、示以原点为圆心, 以,正n边形的n个顶点 .,目录 上页 下页 返回 结束,为半径的原内接,【例5】求 的n个根 .,解: 由,目录 上页 下页 返回 结束,显然,所以：1的n个根为,【例6】求 的4个根 .,解：由,由于四个根的每个角相差2/4= /2,故四边形对角线互相垂直平分，,所以四个根为正方形的顶点 .,目录 上页 下页 返回 结束,显然,五. 复球面与无穷大,一. 复球面,复数在球面上的几何表示,球面,目录 上页 下页 返回 结束,N(0,0,1)称为北极, S(0,0,-1)称为南极.,1. 定义:,与z平面交于圆周,复数z (点A) 与N的连线交上半球面于点,z平面上圆周外,圆
8、周内,复数z (点B) 与N的连线交下半球面于点,称 为A, B在球面上的球极射影 .,目录 上页 下页 返回 结束,2. 无穷大定义:,称|z|=的点为,C=C 称为扩充复数集，,当z的模越大时, 它的球极投影越接近北极N,无穷远点，记为 .,称为扩充复平面，也记为C .,它对应的复平面,目录 上页 下页 返回 结束,3. 无穷大的性质:, 的实部，虚部及辐角均无意义，而|z|=+ ., a 时,运算,无意义., b 0 时,4. 注:如果没有声明，我们所指平面是通常意义,下的复平面. 所有的讨论均不包括 .,2 复平面的点集,1、定义1.1 复平面上点的邻域,定义：设,称圆盘| z - |
9、 r,记为U( ,r) ,目录 上页 下页 返回 结束,一.初步概念,称0 | z- | r 为去心邻域 , 记为,为 的邻域或 r 邻域 ,2、定义1.2,设E为一个点的集合,目录 上页 下页 返回 结束,(1) 为聚点(极限点) 的任何邻域都有E的点。,(2) 为孤立点 属于E，但不是聚点。,(3) 为外点 不属于E，也不是聚点。,(4) 为内点 存在 的一个邻域全含于E。,(5) 为边界点 的任何邻域都有E和非E的点。,3、定义1.3,目录 上页 下页 返回 结束,(3).如果,则称E为闭集; 有界闭集称为紧集.,(4).由内点组成的集合称为开集 .,(2). E的全部聚点组成的集合记为
10、,(5).由边界点组成的集合称为边界, 记为,(1).如果,使得,则称E为有界集，,否则称为无界集.,二、区域与Jordan曲线,1. 定义1.4 ：若平面上点集D满足, D是一个开集, D是连通的,则称：E为平面上的开区域，简称区域 .,目录 上页 下页 返回 结束,2. 简单曲线,(1) 如果 x(t), y(t) 在 a,b 上连续, 则 z = z ( t ) 称为,一条连续曲线.,设 x(t), y(t) 是两个连续的实函数, 则,表示一条平面连续曲线,表示.,目录 上页 下页 返回 结束,这条平面曲线,可以用,(3) 没有重点的连续曲线称为简单连续曲线(简单曲线),(或称Jorda
11、n闭曲线),(或称Jordan曲线).,如果 z(a)=z(b) , 称为简单闭曲线,有重点,目录 上页 下页 返回 结束,(4) 设 z = z(t) 是Jordan曲线, 并且,连续且不为零,则称 z = z(t) 为光滑曲线.,由有限个分段光滑曲线,连接而成的曲线称为分段光滑曲线.,曲线一般用 C 表示,目录 上页 下页 返回 结束,JordanTh: 任意简单闭曲线C, 将z平面分成不相交,的三个点集C, I(C), E(C)；,连接I(C)与E(C)的点的折线必与C相交.,I(C)有界, E(C)无界；,De: 设 D为一个区域, 若 D中任意一条简单闭曲线,3. 单连通域、多连通域
12、,围成的区域仍然属于 D, 则称D为单连通域 ,否则称为多连通域 .,目录 上页 下页 返回 结束,【例7】满足下列条件的点 z 所组成的点集是什么图形?如果是区域,是单连通区域还是多连通区域?,圆周,目录 上页 下页 返回 结束,开圆盘：单连通有界区域,圆盘外区域：单连通无界区域,圆环：多连通有界区域,单连通半开半闭区域 .,目录 上页 下页 返回 结束,圆盘外区域：单连通无界闭区域,直线,直线,目录 上页 下页 返回 结束,不是区域，因为z1 , z2不能由一条完全属于此点集,的折线连接起来，但它是一个开集。,单连通无界角形区域,目录 上页 下页 返回 结束,单连通角状区域,目录 上页 下页 返回 结束,【作业】 P14 7，11，14(2),17 (2,3,4,8,9)15*(选作),预习第二章1 自学P18正数第13行P20正数第2行,
