1、留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数.,令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而,其中f (z)是z的有理
2、函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解 由于0p1, 被积函数的分母在0q 2p内不为零, 因而积分是有意义的.,由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此,在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例 3,解：,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(
3、z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,3. 形如 的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的.象2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的|z|有,因此, 在半径R充分大的CR上, 有,也可写为,例6 计算 的值.,解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,例4 计算积分 的值.,解 因为 是偶函数, 所以,为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有,令x=-t, 则有,因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|2,而,由于,在r充分小时,例题,
