第三篇 概率与数理统计

1、习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。解： ；12,4,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为1， 2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ;,4jij(5) 检查两件产品是否合格。解：用0 表示合格, 1 表。

2、第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产 1000 件产品所出的次品数分别用， 表示，经过一段时间的考察，知 ， 的分布律如下： 0 1 2 3 0 1 2p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2试比较两台车床的优劣。解：因为 E=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6;E=00.5+10.3+20.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。2. 连续型随机变量 的概率密度为fxkxkaa() (,)010其 它又知 E=0.75，求 k, a 之值 。 解：首先由密度函数性质知1,1,)( adxkdxfa即；又 E=0.75，即有 75.02,75.0kx即；由上述两式可求得 k=3, a=。

3、习题 3-11. 已知随机变量 X1 和 X2 的概率分布分别为X1 -1 0 1P 4124X2 0 1P而且 . 求 X1 和 X2 的联合分布律.120P解 由 知 . 因此 X1 和 X2 的联合分2120布必形如X2X1 0 1 pi-1 P11 0 140 P21 P22 21 P31 0 14pj 12121于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有 X1 和 X2 的联合分布律X2X1 0 1 pi-1 140 140 0 221 140 14pj 12121(2) 注意到 , 而 , 所以 X110,PX12004PX和 X2 不独立.2. 设随机变量(X,Y )的概率密度为(,(6),0, .fxykxyy其 它求: (1) 常数 ; (2) ; (3) ; (4) .k13PY1.5PX4PXY解 (1) 由 , 得(,)dfxy,2424 202041d(66)d()8。

4、习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合格, 1。

5、- 1 -习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合。

6、第一章 随机事件与概率1从 0,2,9 十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：(1)放回时的样本空间 1(2)不放回时的样本空间 2解：(1)10 919 2，(2)201 3 99 82.一个袋内装有个白球和个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间：(1)不放回时的样本空间 1(2)放回时的样本空间 2解：(1) 红 ， 白 红 ， 白 白 红 ， 白 白 白 红 ， 白 白 白 白 红 (2) n个 红 ， 白 红 ， ， 白 白 白 红 ,3.解：3333111122313231231212313123,()()()()()()()iii iii iiABACDACE AFGAA5.设样本空间 0,9 。

7、- 1 -习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合。

8、第三章 多维随机变量及其概率分布1、解 互换球后，红球的总数是不变的，即有 ， 的可能取值有：2，3，4，6XY的取值为：2，3，4。则 的联合分布律为：Y(,)XY(,)(2,32)(3,)(,)(,4)0PXPPXY 645231525XY由于 ，计算 的边际分布律为：6YX 6()(,4)13(3)(,)2PX4,2P2 解： 0.5ab0,0,10.YPXYa因事件 与事件1,1pYYXab相互独立，则 ,即X,1P由 ， 解得 。0.4aab210.4b3、解 利用分布律的性质，由题意，得.1.0c(,2)(0,1)0.0|2) .5PYXPYXaPYX b 计算可得： 于是 的边际分布律为：1.5bc.ac.3b()06a(2)0102.4PXc的边际分布律为 ，Y(1).Y()PY(1)0.5Ybc4 解。

9、- 1 -习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合。

10、1习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 1282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 30 0 0 3247C5A13247C5A1 0 12347C65A21347312472 P(0 黑,2 红,2 白 )=247C/35A123472347C5A03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函。

11、1概率论与数理统计习题第三章 多维随机变量及其分布习题 3-1 盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球.以 表示X取到黑球的只数，以 表示取到红球的只数，求 和 的联合分布律.YXY解：XY 0 1 2 30 0 0 51 0 3632 550（X，Y ）的可能取值为(i, j)，i =0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 = P X=1, Y=1 = 5472C 35647213CP X=1, Y=2 = P X=2, Y=0 =3647123 4723P X=2, Y=1 = P X=2, Y=2 =547123C 35472CP X=3, Y=0 = P X=3, Y=1 =34712 47123P X=3, Y=2 =0习题 3-2 设随机变量 的概率密度为),(YX其 。

12、- 1 -习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合。

13、第三章历年考题一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设二维随机变量（X， Y）的分布律为，则 PX+Y=0=（ ）A.0.2 B.0.3C.0.5 D.0.7答案：CYX -1 0 10 0.1 0.3 0.21 0.2 0.1 0.12.设二维随机变量（X， Y）的概率密度为 , ;y,x,c)y,x(f 其 他0 111则常数 c=（ ）A. B.41 21C.2 D.4答案：A3设二维随机变量（X，Y）的分布律为设 pij=PX=i,Y=ji,j=0,1，则下列各式中错误的是（ ）Ap 000 时， （X，Y）关于。

14、习题一 1 1 写出下列随机试验的样本空间 1 某篮球运动员投篮时 连续5 次都命中 观察其投篮次数 解 连续5 次都命中 至少要投5次以上 故 2 掷一颗匀称的骰子两次 观察前后两次出现的点数之和 解 3 观察某医院一天内前来就诊的人数 解 医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷 所以 4 从编号为1 2 3 4 5 的5 件产品中任意取出两件 观察取出哪两件产品 解 属于不放回抽样 故两。

15、第三章 随机向量在实际问题中， 除了经常用到一个随机变量的情形外，还常用到多个随机变量的情形.例如，观察炮弹在地面弹着点 e 的位置，需要用它的横坐标 X（e）与纵坐标 Y（e）来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间 =e=所有可能的弹着点 上的两个随机变量.又如，某钢铁厂炼钢时必须考察炼出的钢 e 的硬度 X（e） 、含碳量 Y（e）和含硫量Z（e）的情况，它们也是定义在同一个 =e上的三个随机变量.因此，在实用上，有时只用一个随机变量是不够的，要考虑多个随机变量及其相互联系.本章以两个随机变量的情形为代表，讲述多个随。

16、第 3章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,)()()FxyPXxYy(,)PXxYy(,)xy称 为 X与 Y的分布函数，或称 X与 Y的联合分布函数()(,lim(,)X yF,li,Y xFyP分布函数 性质:(,)x1） 是变量 x和变量 y的不减函数，(分别关于 x和 y有单调不减性)2） ，任意一边趋于-.F(，)=1（用来确定未知参数）.0,1y3） ，即 分别关于 x右连续，关于 y也右连续,()(0,),0)FF(,F4）对于任意 下述不等式成立(可用于判定二元函数 是不是某二维随机变量121212,xy ()Fx的分布函数): 12,(, ,)0xxy2.二维离散。

17、273. Random Variables3.1 Definition of Random VariablesIn engineering or scientific problems, we are not only interested in the probability of events, but also interested in some variables depending on sample points. （定义在样本点上的变量）For example, we maybe interested in the life of bulbs produced by a certain company, or the weight of cows in a certain farm, etc. These ideas lead to the definition of random variables.1. random variable definitionDefinition 3.1.1 A random variable is a real。

18、第三章 习题参考答案 1.计算习题二第 2 题中随机变量的期望值。解：由习题二第 2 题计算结果012=33pp，得 E一般对 0-1 分布的随机变量 有1Ep2用两种方法计算习题二第 30 题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3.5310.29.E和宽的数学期望14.再利用数学期望的性质计算周长的数学期望 (2)29.09.8E方法二：利用习题二地 30 题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望96 98 100 102 104p 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06960.8.2710.3520.14.0698.E3.对。

19、题目 类型 分值 正确答案总体 X 服从正态分布 是取自该总体的样本，是样本均值 , 是样本方差。则 服从的分布是（ ） 。单选题10.0 3总体 X 服从参数为 p 的(0?1)分布，从该总体中抽取了一组容量为 10 的一组样本值(1,0,1,1,1,0,1,0,1,0)。计算可知其样本方差 S2=( ).单选题10.0 1设总体是由四个数 2,3,5,6 所构成。从该总体每次取一个数有放回地抽取容量为 6的样本，则样本方差的数学期望 （ ）单选题10.0 2盒中有三件产品，其中 1 件次品，2 件正品。每次从中任取一件是正品的个数是随机变量 X，有放回的抽取 10 次，的容量为 10 的样本 。

20、193第九章 随机事件与概率习题 11、写出下列事件的样本空间（1）从一批灯泡中取一个，测其寿命（2）有一批零件共 200 个，次品率为 2%，从中任抽取一个，直到取到正品前抽取的次品数（3）每天用 10 元买彩票，直到中一等奖为止，观察所需次数2、甲、乙、丙三人各射一次靶，记 A=“甲中靶” 、B=“ 乙中靶” 、C= “丙中靶”用 A、B、C 运算分别表示下例事件（1）甲中靶而乙未中靶 （2）甲未中靶（3）三人中恰好有一人中靶 （4）三人中只有丙中靶（5）三人中至少有一人中靶 （6）三人中至少有一人未中靶（7）三人均未中靶 （8）三人中至多。