1、第三章 习题参考答案 1.计算习题二第 2 题中随机变量的期望值。解：由习题二第 2 题计算结果012=33pp，得 E一般对 0-1 分布的随机变量 有1Ep2用两种方法计算习题二第 30 题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3.5310.29.E和宽的数学期望14.再利用数学期望的性质计算周长的数学期望 (2)29.09.8E方法二：利用习题二地 30 题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望96 98 100 102 104p 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06960.8.27
2、10.3520.14.0698.E3.对习题二第 31 题， （1）计算圆半径的期望值；（2） 是(2)ER否等于 ？（3）能否用 来计算远面积的期望值，如果2ER2()ER不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1） 10410.3.16（2）由数学期望的性质有()2.ER（3）因为 ，所以不能用 来计算圆面积()2()ER的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得 222222()()10.0.41.30.)135.4 或者由习题二第 31 题计算结果，按求圆面积的数学期望10.69.).E4 连续随机变量 的概率密度为,01(,)()akx其 它又知 ，求 和 的值 .75E解 由 10
3、()1324akxdEk解得 ,5计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16 题） 。解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以 ，|102xEed同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算Comment U1: 或者利用 函数的性质，上式等于 3=2（ ） ！2|201()xxDEed0|6题目略解 (1)15 辆车的里程均值为1274(95)91.3(2) 记 为从 188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则 的分布表如下表所示（a=188 ）10 30 50 70 90 110 130 150 170p5/a 11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a
4、2/a故51245003796.1788E7题目略解 记 为种子甲的每公顷产量， 为种子乙的每公顷产量，则450.120.351.40.1948235E8一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值 10g,标准差为 1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设 为一盒中第 个螺丝钉的重量 ,则 题设条件为ii(1,20)i且 相互独立。设一盒螺丝钉的重10,iiEgD120,量为随机变量 ，则期望和标准差分别为0i10101100222()()01()iiii iiEEgDDg注 此题不能认为 ,因为这意味着所有螺丝钉的重量完全
5、一样,这是不符合实际情况的.因此 2(10)10()g是错误结果。9. 已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中次品数的期望值。解 设 为 5 个产品中的次品数，则 的分布率为5109()(,234,5)kCp于是期望值为551090.kkEC10一批零件中有 9 个合格品和 3 个废品，在安装机器时，从这些零件中任取 1 个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。解 设 为取得合格品之前取出的废品数，则 服从如下表所示的分布，于是 0 1 2 3p92391021001.342E22223919()01340E2225(
6、)().D11.假定每人生日在各个月份的机会是同样的，求 3 个人中生日在第1 个季度的平均人数。解 设 3 人中生日在第 1 季度的人数为 ，则 的分布律为33()()(0,12)4kkpC故平均人数为3301()kkE12 有分布函数 ，求,0()xeF， 其 它 ED及解 的密度函数为,0()xex+ +00 1|xxxEedd2220() |xee+20xe2221()()DE或者利用伽马函数的性质 +001()xxeded+2222220011()()(3)xxEeded 222()D13 ，求 和21,|()0,xx其 它 DE解 由奇函数在对称区间的积分为零知120xEd或者 1
7、2222sinsincosi |01xttttd于是= = =D2()E21xd22sini1tdt20sintd2 200cosi()|.54tt14计算习题二第 22 题中的 期望与方差。解 由习题二第 33 题求得的 分布可求得其数学期望和方差210()34E3210()()39D15计算习题二第 23 题中的 期望与方差。解 由习题二第 34 题求得的 分布可求得其数学期望和方差1415()2()02368E497285()()71D16如果 独立，不求出 的分布，直接从 的分布和 的分和 布能否计算出 ，怎样计算？()解 由 与 独立，知 与 独立，根据数学期望的性质有22)(,)(
8、EE（ ） =（ ） =(故 2 22)-()DE（ ） （ ） -（ ）17.随机变量 是另一个随机变量 的函数,并且 ,若0e存在,求证对于任何实数 都有 .axp证明：不妨设 是连续型随机变量，其密度函数为 ，注意到当()时，有 ，于是xa()10)xae( ()()xaaxapdededeE若 为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。18证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 1/4.证明 设 为一次试验中 发生的次数，则 服从 0-1 分布，A则 ()pAEp221)(0)(1)()01)Dpp而函数 在 上的最大值为 ，故(,4D19证明对于任何常数 c,随机变量
9、有22()()DEcc证明 因为 22()()Ec22()()所以两式的差为 D或者2222()()()()()DcEcEcc 20 的联合概率密度为 ，计算它们的,(,0xye协方差 ov()解 先求 的边缘密度函数和 ()10()(0)xyxed()2yy由 知 相互独立,故 不相关,12(,与 与即 cov(,)=021.计算习题二第 22 题 的协方差。与解 由习题二第 22 题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见下表)，于是 1 1 (1)ip1 0 1/3 1/32 1/3 1/3 2/3()jp 1/3 2/3212515338()0()4cov, ()9EE，22.计算习
10、题二第 23 题 的相关系数。与解 习题二第 23 题求出的分布表（见下表） ，可求得 0 1/3 1 (1)ip-1 0 1/12 1/3 5/120 1/6 0 0 2/122 5/12 0 0 5/12()jp 7/12 1/12 4/1222222555510()111743=,4367()()308EED，（ ） 2150869713()()26Ecov(,)3,41275D23 的联合概率分布如下表所示，计算 的相关系数， 并, 与判断 是否独立？与 -1 0 1-1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8解 的联合分布和边缘分布如下表所示(,)-1
11、 0 1 (1)ip-1 1/8 1/8 1/8 3/80 1/8 0 1/8 2/81 1/8 1/8 1/8 3/8(2)jp 3/8 2/8 3/822230183()8414cov(,)()0,EDDE） （ ）但 ，知 不相互独立。(1)21968pp与24两个随机变量 与 ，已知 ,计算25,0.4D与 .(+D） (-）解 cov,)=0.461(2cov(,)8537第四章习题解答（参考答案）1.若每次射击靶的概率为 0.7，求射击 10 炮，命中三炮的概率，至少命中 3 炮的概率，最可能命中几炮。解: 记射击 10 炮的命中次数为 ,则 ,所求概率为(10.7)B3710()
12、.0.9pC643()()(2)5.9.81.50.984pp最可能的命中炮数为 炮.72.在一定条件下生产某种产品的废品率为 0.01,求生产 10 件产品中废品数不超过 2 个的概率.解 记废品数为 ，则 ，所求概率为(10,.)B2100()9kkpC.9442.3某车间有 20 台同型号机床，每台机车开动的概率为 0.8，若假定各机床是否开动彼此独立，每台机车开动时所消耗的电能为 15 个单位，求这个车间消耗电能不少于 270 个单位的概率。解 设 20 台机床中有 台开动，则 ，所求概率为(20,.8)B270()(18)(9)5ppp219209.0.864从一批废品率为 0.1
13、的产品中，重复抽取 20 个进行检查，求这20 个产品中废品率不大于 0.1 的概率。解 设 为 20 个产品中废品的个数，则 ，所求概率为(20,.1)B(0.15)(3)2pp20192.9.+0.1837.+4=865生产某种产品的废品率为 0.1，抽取 20 件产品，初步检查已发现2 件废品，问这 20 件中，废品不少于 3 件的概率.解 设 为 20 件产品中废品的个数，则 ，所求概率为(20,.1)B20192182019(3)(3|)1.9.+.)(.5368pp6抛掷 4 颗正六面体的骰子， 为出现么点的骰子数目，求 的概率分布，以及出现么点的骰子的最可能值.解 设 为 4 颗
14、骰子中出现么点的个数，则 ，即有分布1(4,)6B律441()()(0,123)6kkpkC其分布函数为0,()()1(0,23)1,4ikxFpik的最可能值为 67事件 在每次试验中出现的概率为 0.3,进行 19 次独立试验，求A（1）出现次数的平均值和标准差；（2）最可能出现的次数。解 设 为 19 次试验中 出现的次数，则 ，故可求得A(19,0.3)B（1） 90.357E1.3.9.7D(2） 的最可能值= （因为 是整数）065和 190.38已知随机变量 服从二项分布, , 求 和2E=8D， pn解 题设条件为 ，且()Bnp12,8np由此解出 ,369某柜台上有 4 个
15、售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均有 15 分钟时间使用台秤，求在一天 10 小时内，平均有多少时间台秤不够用。解 按题设条件可认为在任何时间每个售货员都以 的概率使用台秤，14设 为任何时刻要用台秤的售货员人数，则 ，于是任何(,)B时刻台秤不够用的概率为344113(2)()(0.5pC这个结果也可以解释为营业时间内 5%的时间台秤不够用，故 10 个小时内大约有半小时秤不够用。10已知试验的成功率为 ，进行 4 重贝努里试验，计算在没有全p部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.解 设 为 4 次试验中成功的次数，则 ，所求概率为(4,)Bp334(1)()1(1)(1
16、|0)p pp11 服从参数为 2， 的二项分布，已知 =5/9，那么成()功率为 的 4 重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少？解 由题设条件 和 ，可解出 ，再设(,)Bp251()913p，则所求概率为 1(4,)3B 461()812一批产品 20 个中有 5 个废品，任意抽取 4 个，求废品数不多于2 个的概率。解 设 为所取的 4 个废品的个数，则 服从参数 N=20,M=5,n=4 的超几何分布，所求概率为(2)1(3)(4)pp0980.6613如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算。试将下例用两个公式计算，并比较其结果。产品的废品
17、率为 0.1,从 1000 个产品中任意抽取 3 个，求废品数为 1 个的概率。解 记 为所取 3 个产品中的废品数。(1)设 服从参数为 N=1000,M=100,n=3 的超几何分布,则所求概率为12093485()0.236Cp(2)若 ，则所求概率为,.B2(1).4两者的差异仅为 0.00046.14. 从一副扑克牌（52 张）中发出 5 张,求其中黑桃张数的概率分布 解 设 为 5 张中黑桃的张数，由题意知 服从 N=52,M=13,n=5 的超几何分布，即 51392(0,34,5)kCp由此分布律可列出分布表（见下） 0 1 2 3 4 5p 0.2215 0.4114 0.2
18、745 0.0815 0.0107 0.000515. 从大批发芽率为 0.8 的种子中，任取 10 粒，求发芽数不少于 8例的概率。解 记 为 10 粒种子中发芽的种子数，则 ，所求概率(10,.)B为 829101010()82.pC3+647=616一批产品的废品率为 0.001，用普哇松分布公式求 800 件产品中废品为 2 件的概率，以及不超过 2 件的概率。解 记 为 800 件产品中的废品数,则 ，由于(80,.1)B80n很大， 很小，故可用普哇松公式计算本题概率0.1p(88)20.43!e20.8.(1)956!p17某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有 0.
19、8个疵点，若规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值 10 元，疵点数大于 1 而不多于 4 为二等品，价值 8 元，4 个以上为废品。求产品为废品的概率以及产品的平均价值。解 产品上的疵点数为 ，则 ，且 ，产品为废()p0.8E品的概率为 2340.80.841( )14!p e 再设产品的价值为 ，则 的分布律为0.82340.81().8)19!0.pep故产品的平均价值为(元).81.89.61E18.一个合订本共 100 页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过 4 个的概率。解 设 为每页上的印刷错误数，由题设条件知 ，且 ()p，则一页上印刷错误不超过 4 个的概率为2E230.84(1)9473!pe于是各页的错误都不超过 4 个的概率为105.19某型号电子管的“寿命” 服从指数分布，如果它的平均寿命小时，写出 的概率密度，并计算 .10E(102)p解 因为 ，故 的概率密度为012010()=xped10,(),xex12010(10)=xpd1.2067e
