1、第三章 随机向量在实际问题中， 除了经常用到一个随机变量的情形外，还常用到多个随机变量的情形.例如，观察炮弹在地面弹着点 e 的位置，需要用它的横坐标 X（e）与纵坐标 Y（e）来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间 =e=所有可能的弹着点 上的两个随机变量.又如，某钢铁厂炼钢时必须考察炼出的钢 e 的硬度 X（e） 、含碳量 Y（e）和含硫量Z（e）的情况，它们也是定义在同一个 =e上的三个随机变量.因此，在实用上，有时只用一个随机变量是不够的，要考虑多个随机变量及其相互联系.本章以两个随机变量的情形为代表，讲述多个随机变量的一些基本内容.第一节 二维随机向量及其分布1.二维随机向量
2、的定义及其分布函数定义 3.1 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 =e.设 X（e ）与 Y（e ）是定义在同一样本空间 上的两个随机变量，则称（X（e） ，Y（e） ）为 上的二维随机向量（2 dimensional random vector）或二维随机变量(2dimensional random variable)，简记为（X ，Y ）.类似地定义 n 维随机向量或 n 维随机变量（n2）.设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 =e，设随机变量 X1（e ） ，X 2（e） ，X n(e)是定义在同一个样本空间 上的 n 个随机变量，则称向量（X 1（e） ，X 2（e） ，X
3、m(e)为 上的 n 维随机向量或 n 维随机变量.简记为（ X1，X 2，X n）.与一维随机变量的情形类似，对于二维随机向量，也通过分布函数来描述其概率分布规律.考虑到两个随机变量的相互关系，我们需要将（X，Y）作为一个整体来进行研究.定义 3.2 设（X，Y）是二维随机向量，对任意实数 x 和 y，称二元函数F（x，y）=P Xx ，Y y (3.1)为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数.类似定义 n 维随机变量（X 1，X 2，X n)的分布函数.设（X 1，X 2，X n）是 n 维随机变量，对任意实数 x1， x2，x n，称 n 元函数F
4、(x1,x2,xn)=PX1x 1,X2x 2,Xnx n为 n 维随机变量(X 1，X 2，X n)的联合分布函数.我们容易给出分布函数的几何解释.如果把二维随机变量（X，Y）看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数 F（x，y ）在（x，y）处的函数值就是随机点（ X，Y ）落在直线X=x 的左侧和直线 Y=y 的下方的无穷矩形域内的概率(如图 31 所示).根据以上几何解释借助于图 32，可以算出随机点（X，Y）落在矩形域x1Xx 2，y 1Yy 2内的概率为：Px1Xx 2,y1Y y 2=F（x 2,y2）F(x 2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1). （3.2）图 31 图
5、 32容易证明，分布函数 F（x ，y ）具有以下基本性质：（1） F（x，y）是变量 x 和 y 的不减函数，即对于任意固定的 y，当 x2x 1 时，F（x 2， y）F（x 1，y） ；对于任意固定的 x，当 y2y 1 时，F（x，y 2）F（x，y 1）.（2） 0F （x ，y）1，且对于任意固定的 y， F（,y）=0,对于任意固定的x，F （ x，）=0，F（ ，）=0 ，F（+，+）=1.（3） F（x，y）关于 x 和 y 是右连续的，即F（x，y ） =F（x +0，y ） ，F（x，y）=F（x，y+0）.（4） 对于任意（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）,x
6、1x 2,y1y 2,下述不等式成立：F（x 2，y 2）F（x 2，y 1）F（x 1，y 2）+F（x 1，y 1）0.与一维随机变量一样，经常讨论的二维随机变量有两种类型：离散型与连续型.2.二维离散型随机变量定义 3.3 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值是有限对或可列无穷多对，则称（X ，Y ）为二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量（X，Y）的一切可能取值为（x i，y j）i ，j=1，2，且（X ，Y ）取各对可能值的概率为PX=xi，Y=y i=pij，i ，j=1，2，. （3.3）称式（3.3）为（X，Y）的（联合）概率分布或（联合）分布律，离散型随机变量（X，Y
7、）的联合分布律可用表 31 表示.表 31XYx1 x2 xi y1y2yjp11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij 由概率的定义可知 pij具有如下性质：（1） 非负性：p ij0（i，j=1，2，） ；（2） 规范性： =1.ji,离散型随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为F（x ，y ）= PXx，Yy= ， （3.4）xyijijp其中和式是对一切满足 xix，y jy 的 i，j 来求和的.例 3.1 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律如表 32 所示：表 32XY1 2 312340.1 0.3 00 0 0.20.1 0.1 00 0.2 0求
8、 PX1，Y3及 PX=1.解 PX1，Y3=PX=2，Y =3+PX=2，Y =4+PX=3，Y=3+PX=3，Y=4=0.3；PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3+PX=1,Y=4=0.2.例 3.2 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y在 1X 中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律.解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知X=i，Y=j 的取值情况是：i=1， 2，3，4， j 取不大于 i 的正整数，且PX=i，Y=j= PY=jX=iP X=i= ，i=1，2，3，4，j i.1于是（X，Y）的分布律为
9、表 33XY1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/160 1/8 1/12 1/160 0 1/12 1/160 0 0 1/163.二维连续型随机变量定义 3.4 设随机变量（X，Y）的分布函数为 F（x,y） ，如果存在一个非负可积函数f（x，y） ，使得对任意实数 x，y，有F（x ，y ）=PXx，Yy= （3.5）xyvuf,),(d则称（X，Y）为二维连续型随机变量，称 f（x ，y）为（X，Y）的联合分布密度或概率密度.按定义，概率密度 f（x ，y）具有如下性质：（1） f（x，y）0 （x,y+） ；（2） =1；vud),(（3） 若 f（x， y）在点（x，
10、y）处连续，则有=f(x,y)；F,2（4） 设 G 为 xOy 平面上的任一区域，随机点（X，Y）落在 G 内的概率为P（X， Y）G = . (3.6)fd),(在几何上，z=f（x ，y ）表示空间一曲面，介于它和 xOy 平面的空间区域的立体体积等于 1，P （X， Y）G的值等于以 G 为底，以曲面 z=f（ x，y）为顶的曲顶柱体体积.与一维随机变量相似，有如下常用的二维均匀分布和二维正态分布.设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A，若二维随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）= .,0)(1一G则称（X，Y）在 G 上服从均匀分布.类似设 G 为空间上的有界区域，其体积为
11、A，若三维随机变量（X，Y，Z）具有概率密度f(x,y,z)= ，.,0,)(1一GzyxA则称（X，Y，Z ）在 G 上服从均匀分布.设二维随机变量（X，Y）具有分布密度f(x,y)= ,12 )()(2)()1(2 22112 yxxex + ,y + ，其中 1, 2, 1, 2, 均为常数，且 10, 20,1 1,则称（X，Y）为具有参数 1， 2， 1， 2， 的二维正态随机变量，记作：（X，Y）N（ 1， 2， 12， 22， ）.例 3.3 设（X，Y）在圆域 x2+y24 上服从均匀分布，求（1） （X，Y）的概率密度；（2） P0X1，0Y 1.解 （1） 圆域 x2+y2
12、4 的面积 A=4，故（X，Y）的概率密度为f（x，y）= .,0,4412一yx（2） G 为不等式 0x1，0y1 所确定的区域，所以P0X1，0Y1= 101(,)dd.4Gfxyxy例 3.4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= .,)32(一kyxe(1) 确定常数 k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求 PXz=1- PXz,Yz=1-PXzPYz=1-(1-FX(z)(1-FY(z). （3.23）以上结果容易推广到 n 个相互独立的随机变量的情况.设 X1，X 2，X n是 n 个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FXi(xi)(i=1,2,n)，则
13、 M=max(X1,X2,Xn)及N=min(X1,X2,Xn)的分布函数分别为FM(z)=FX1(z)FX2(z)FXn(z); (3.24)FN(z)=1-1-FX1(z)1-FX2(z)1-FXn(z). (3.25)特别，当 X1，X 2，X n是相互独立且有相同分布函数 F（x）时，有FM(z)=（F (z)） n, (3.26)FN(z)=1- 1-F(z)n. (3.27)例 3.21 设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，求 Z=maxX，Y的密度函数.解 设 X，Y 的分布函数为 F（x） ，则F（x）= .0,xe由于 Z 的分布函数为FZ（z）= PZz=
14、PXz，Y z=PXz PYz=F（z） 2，所以，Z 的密度函数为fZ（z）=F Z(z)=2F(z)F(z)= .0,0,),1(2zze下面再举一个由两个随机变量的分布函数求两随机变量函数的密度函数的一般例子.例 3.22 设 X，Y 相互独立，且都服从 N（0， 2） ，求 Z= 的密度函数.2YX解 先求分布函数FZ（ z） =PZ z=P z.2Y当 z0 时 ， FZ（ z）=0 ；当 z0 时，FZ（z）=P z= .2YXyxzyx de221图 3-3作极坐标变换 x=rcos ，y= rsin （0rz，0 2） （如图 3-3） ，于是有FZ（z） = .22011zr
15、ede故得所求 Z 的密度函数为fZ(z)=F Z(z)= .0,0,2zze此分布称为瑞利分布（Rayleigh） ，它很有用.例如，炮弹着点的坐标为（X，Y） ，设横向偏差 XN（0， 2） ，纵向偏差 YN（0， 2） ，X，Y 相互独立，那么弹着点到原点的距离 D 便服从瑞利分布，瑞利分布还在噪声、海浪等理论中得到应用.小 结对一维随机变量的概念加以扩充，就得多维随机变量，我们着重讨论二维随机变量.1.二维随机变量（X，Y）的分布函数 ：F(x,y)=PXx,Yy,-0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0p1 ） ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求：
16、（ 1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.（2001 研考）24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X ，而 Y 的概率密度为 f(y)，7.0321求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). (2002 研考)25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Y1.(2006 研考)26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为-1 0 1-101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 EX=-0.2,PY0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求：（1） a,b,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） PX=Z. (2006 研考)XY
