概率论与数理统计习题及答案--第三章

1、1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数 ;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；12,4,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件 , 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格;解：用 0 表示合格, 1 表示不。

2、第三章,多维随机变量及其分布,一、二维随机变量,二、边缘分布,三、相互独立的随机变量,四、两个随机变量的函数的分布,定义1 设随机试验,的样本空间是,设,和,是定义在,上的随机变量，则由它们构成的一,个向量,称为二维随机变量或二维随机向量。,定义2 设,是二维随机变量，对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量,的分布函数，或联合分布函数。,第一节 二维随机变量,二维分布函数的几何意义,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质：,对任意固定的,，当,时，,对任意固定的,，当,时，,关于,右连续，即,解 由分布函数的性质,得,机动 目录 。

3、第三章 多维随机变量及其分布,关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度,1 二维随机变量,问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐。

4、第三章 多维随机变量及其概率分布1、解 互换球后，红球的总数是不变的，即有 ， 的可能取值有：2，3，4，6XY的取值为：2，3，4。则 的联合分布律为：Y(,)XY(,)(2,32)(3,)(,)(,4)0PXPPXY 645231525XY由于 ，计算 的边际分布律为：6YX 6()(,4)13(3)(,)2PX4,2P2 解： 0.5ab0,0,10.YPXYa因事件 与事件1,1pYYXab相互独立，则 ,即X,1P由 ， 解得 。0.4aab210.4b3、解 利用分布律的性质，由题意，得.1.0c(,2)(0,1)0.0|2) .5PYXPYXaPYX b 计算可得： 于是 的边际分布律为：1.5bc.ac.3b()06a(2)0102.4PXc的边际分布律为 ，Y(1).Y()PY(1)0.5Ybc4 解。

5、3.1 多维随机变量及其联合分布 3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.3 多维随机变量函数的分布 3.4 多维随机变量的特征数 3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.3.1 多维随机变量定义3.1.1若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,3.1 多维随机变量及其联合分布,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y, 称,注意：,F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.。

6、第三章 随机变量的数字特征,概率论与数理统计教程 （第四版）高等教育出版社 沈恒范 著,大纲要求,3.1 数学期望 3.2 随机变量函数的数学期望 3.3 关于数学期望的定理 3.4 方差与标准差 3.5 某些常用分布的数学期望及方差 3.6 原点矩与中心矩 3.7 协方差与相关系数 3.8 切比雪夫不等式与大数定律,学 习 内 容,3.1 数学期望,离散随机变量的数学期望 连续随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望,记作,设X是离散随机变量，其概率函数为,离散随机变量的数学期望,解: 计算X1的数学期望, 由定义有E(X1),例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别。

7、第三章 随机向量,第一节 二维随机向量及其分布,第二节 边缘分布,第三节 条件分布,第四节 随机变量的独立性,第五节 两个随机变量的函数的分布,1、二维随机向量及其分布函数,定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是=e.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e)为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).,定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。,第一节 二维随机向量及其分布,上一页,下一页,返回,(X,Y)的分布函数满足如下。

8、第三章 随机向量,第一节 二维随机向量及其分布,第二节 边缘分布,第三节 条件分布,第四节 随机变量的独立性,第五节 两个随机变量的函数的分布,1、二维随机向量及其分布函数,定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是=e.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e)为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).,定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。,第一节 二维随机向量及其分布,上一页,下一页,返回,(X,Y)的分布函数满足如下。

9、第三章 随机向量在实际问题中， 除了经常用到一个随机变量的情形外，还常用到多个随机变量的情形.例如，观察炮弹在地面弹着点 e 的位置，需要用它的横坐标 X（e）与纵坐标 Y（e）来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间 =e=所有可能的弹着点 上的两个随机变量.又如，某钢铁厂炼钢时必须考察炼出的钢 e 的硬度 X（e） 、含碳量 Y（e）和含硫量Z（e）的情况，它们也是定义在同一个 =e上的三个随机变量.因此，在实用上，有时只用一个随机变量是不够的，要考虑多个随机变量及其相互联系.本章以两个随机变量的情形为代表，讲述多个随。

10、第 3章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,)()()FxyPXxYy(,)PXxYy(,)xy称 为 X与 Y的分布函数，或称 X与 Y的联合分布函数()(,lim(,)X yF,li,Y xFyP分布函数 性质:(,)x1） 是变量 x和变量 y的不减函数，(分别关于 x和 y有单调不减性)2） ，任意一边趋于-.F(，)=1（用来确定未知参数）.0,1y3） ，即 分别关于 x右连续，关于 y也右连续,()(0,),0)FF(,F4）对于任意 下述不等式成立(可用于判定二元函数 是不是某二维随机变量121212,xy ()Fx的分布函数): 12,(, ,)0xxy2.二维离散。

11、习题 3-11. 已知随机变量 X1 和 X2 的概率分布分别为X1 -1 0 1P 4124X2 0 1P而且 . 求 X1 和 X2 的联合分布律.120P解 由 知 . 因此 X1 和 X2 的联合分2120布必形如X2X1 0 1 pi-1 P11 0 140 P21 P22 21 P31 0 14pj 12121于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有 X1 和 X2 的联合分布律X2X1 0 1 pi-1 140 140 0 221 140 14pj 12121(2) 注意到 , 而 , 所以 X110,PX12004PX和 X2 不独立.2. 设随机变量(X,Y )的概率密度为(,(6),0, .fxykxyy其 它求: (1) 常数 ; (2) ; (3) ; (4) .k13PY1.5PX4PXY解 (1) 由 , 得(,)dfxy,2424 202041d(66)d()8。

12、第三章历年考题一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设二维随机变量（X， Y）的分布律为，则 PX+Y=0=（ ）A.0.2 B.0.3C.0.5 D.0.7答案：CYX -1 0 10 0.1 0.3 0.21 0.2 0.1 0.12.设二维随机变量（X， Y）的概率密度为 , ;y,x,c)y,x(f 其 他0 111则常数 c=（ ）A. B.41 21C.2 D.4答案：A3设二维随机变量（X，Y）的分布律为设 pij=PX=i,Y=ji,j=0,1，则下列各式中错误的是（ ）Ap 000 时， （X，Y）关于。

13、第三章 随机变量及其分布（第十四讲）,5 多维随机变量函数的分布,三、商的分布,退 出,前一页,后一页,目 录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,退 出,前一页,后一页,目 录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,退 出,前一页,后一页,目 录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,退 出,前一页,后一页,目 录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,退 出,前一页,后一页,目 录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,退 出,前一页,后一页,目 录,第三章 随机变量及其分布,5。

14、概率论与数理统计第三章作业解答大龙在这里呢2017年10月16日摘要概率论与数理统计电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编，第三章作业题解答。目录1题型分布12习题解答11题型分布第三章多维随机变量二维随机变量及其分布：习题1-12联合分布函数联合分布律联合概率密度二维均匀分布（几何概率）二维正态分布随机变量的独立性：习题13-15条件分布：习题16-19条件分布律条件概率密度随机变量的函数及其分布：习题20-29离散型随机变量的函数及其分布律连续型随机变量的函数及其概率密度几种特殊函数的分布（极值分布、和的分布、商的分布）。

15、273. Random Variables3.1 Definition of Random VariablesIn engineering or scientific problems, we are not only interested in the probability of events, but also interested in some variables depending on sample points. （定义在样本点上的变量）For example, we maybe interested in the life of bulbs produced by a certain company, or the weight of cows in a certain farm, etc. These ideas lead to the definition of random variables.1. random variable definitionDefinition 3.1.1 A random variable is a real。

16、概率论与数理统计,计算机科学学院 裘国永,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量。,本章内容是第二章内容的推广,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。,在打靶时，命中点的位置由一对r.v（两个坐标）确定。,飞机的重心在空中的位置由三个r.v （三个坐标）确定等等。,3.1 。

17、第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布,一、二维随机变量及其分布函数,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,第一节 二维随机变量,图示,一、二维随机变量及其分布函数,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H。

18、1习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 1282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 30 0 0 3247C5A13247C5A1 0 12347C65A21347312472 P(0 黑,2 红,2 白 )=247C/35A123472347C5A03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函。

19、 S 1 q d 9 c 5 1 0 7 B m S Q C 4 t Q T k k N k b W k b W l B f U m Q S Q X m Q S q k Q q s b 3430441018900270 3210 027070100 1890701701703 31 441070170703 32 3430703 0 123 321 3 3218 321765 321432 3 3。

20、1概率论与数理统计习题第三章 多维随机变量及其分布习题 3-1 盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球.以 表示X取到黑球的只数，以 表示取到红球的只数，求 和 的联合分布律.YXY解：XY 0 1 2 30 0 0 51 0 3632 550（X，Y ）的可能取值为(i, j)，i =0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 = P X=1, Y=1 = 5472C 35647213CP X=1, Y=2 = P X=2, Y=0 =3647123 4723P X=2, Y=1 = P X=2, Y=2 =547123C 35472CP X=3, Y=0 = P X=3, Y=1 =34712 47123P X=3, Y=2 =0习题 3-2 设随机变量 的概率密度为),(YX其 。