1、第三章 随机变量的数字特征,概率论与数理统计教程 （第四版）高等教育出版社 沈恒范 著,大纲要求,3.1 数学期望 3.2 随机变量函数的数学期望 3.3 关于数学期望的定理 3.4 方差与标准差 3.5 某些常用分布的数学期望及方差 3.6 原点矩与中心矩 3.7 协方差与相关系数 3.8 切比雪夫不等式与大数定律,学 习 内 容,3.1 数学期望,离散随机变量的数学期望 连续随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望,记作,设X是离散随机变量，其概率函数为,离散随机变量的数学期望,解: 计算X1的数学期望, 由定义有E(X1),例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2,
2、 它们的概率分布表分别为:X1 0 1 2 X2 0 1 2 P(xk) 0 0.2 0.8 p(xk) 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩好坏.,而乙的得分为,=00+1 0.2+2 0.8=1.8,(如甲进行很多次射击, 其得分的平均分为1.8),E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5,显然,乙的成绩比甲的差.,连续随机变量的数学期望,二维随机变量的数学期望,离散r.v.,连续r.v.,3.2 随机变量函数的数学期望,离散r.v.的函数的数学期望 连续r.v.的函数的数学期望,是X的函数，它的取值为,则有,（1）设X是离散随机变量，其概率函数为,例1 一汽车沿一街道行驶
3、，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求X的概率分布与 。,例3 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。,解：已知 ，其概率密度为,设随机变量Y是游客等候电梯的时间，则,则随机变量Y的数学期望为,3.3 关于数学期望的定理,定理1 E(c)=c; 其中c是常数； 定理2 E(aX)=aE(X); 定理3 E(X+Y)=E(
4、X)+E(Y)；,定理4,注意：E(X-Y)=?,定理5 两个独立随机变量X，Y，则,定理6 有限个独立随机变量 ，则,例1 某保险公司规定，如果一年内，顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿a元，若一年内事件A发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的10%，该公司应该要求顾客交多少保险费？,3.4 方差与标准差,方差、标准差的定义 方差的计算公式 方差的性质定理,(1) 设X为随机变量, E(X)存在, 称X-E(X)为离差;,显然, EX-E(X)=0,方差、标准差的定义,方差的计算公式,方差的性质定理,(1) D(c)=0; (2) D(aX)=a2D(X) (3) D(X+b)=D(X
5、),(4)D(aX+b)=a2D(X),(5)两个独立随机变量,(6)有限个独立随机变量,注意：若 相互独立，,课 堂 练 习,3. 随机变量X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求 (1)E(X), (2)D(X), (3)E(Y), (4)D(Y)。,4. X,Y独立，D(X)=6，D(Y)=3，则D(2X-Y)=（ ）。,3.5 某些常用分布的数学期望及方差,（1）若,则,（2）若,则,（3）若,则,（4）若,则,（5）若,则,（6）若,则,1 设随机变量XP(2), 则E(X)=( ), D(X)= ( ), E(X2)=( ),2 若随机变量XB(n, p)
6、, 已知E(X)=2.4，D(X)=1.44, 则n=( ), p=( ),例题,3 若随机变量XU(a, b), 已知E(X)=2.4，D(X)=3, 则a=( ), b=( ),3.6 原点矩与中心矩,若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称它为X的k阶原点矩. 记作,(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X的k阶中心矩. 记作,特别：k=1时，,特别：k=1时， k=2时，,3.7 协方差（相关矩）与相关系数,离散 r.v.,连续 r.v.,注： 相关矩描述随机变量之间的相关性；,相关矩的性质,3. Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,4. Cov(a1X
7、+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其中a1, a2, b1,b2是常数;,5. Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,1. Cov(X，X)=DX；,2. Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y);,6. 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0; 反之不成立.,注意：若随机变量X与Y不相互独立，则（X+Y）和（X-Y）的方差与协方差的关系,相关系数,标准化随机变量与 的协方差，称为随机变量X和Y的相关系数，记作 即由协方差的定义，得,相关系数的性质,定理1,定理2 当且仅当随机变量Y与X之间存在线性关系时，相关系数 的绝对值
8、等于1，并且,定理3 设随机变量X与Y独立，则他们的相关系数等于零，即 。,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,切比雪夫不等式 大数定律,切比雪夫定理 辛钦大数定理 伯努利定理,切比雪夫不等式,等价形式为：,设随机变量X有数学期望E(X)和方差D(X)，则对于任意正数 ，下列不等式成立,课 堂 练 习,大数定律： 切比雪夫定理,大数定律！描述了大数量的随机试验的平均结果的稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性.,设随机变量序列 相互独立，且均存在数学期望 ，方差 (n=1,2,.), 则对任意的0 ，有,依概率收敛,切比雪夫定理!,设随机变量序列Xn是独立同分布的，且有相同的期望与方差： ， (n=1,2,.), 则对任意的0 ，有,算术平均值法则！,辛钦大数定理,伯努力定理,频率的稳定性！小概率事件！,设每次实验中事件A发生的概率为p，则事件A在n次试验中发生的频率 ，当试验次数 时，则对任意的0 ，有,本章小结,
