1、第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产 1000 件产品所出的次品数分别用， 表示，经过一段时间的考察，知 ， 的分布律如下： 0 1 2 3 0 1 2p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2试比较两台车床的优劣。解：因为 E=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6;E=00.5+10.3+20.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。2. 连续型随机变量 的概率密度为fxkxkaa() (,)010其 它又知 E=0.75，求 k, a 之值 。 解：首先由密度函数性质知1,1,)( adxkdxfa即；又 E=0.75
2、，即有 75.02,75.0kx即；由上述两式可求得 k=3, a=2。3.已知随机变量 的分布律为 -1 0 2 3p 1/8 1/4 3/8 1/4求 E，E(3 -2)，E 2，E(1- )2 。解：E =(-1)(1/8)+0(1/4)+2(3/8)+3(1/4)=11/8;E2=(-1)2(1/8)+02(1/4)+22(3/8)+32(1/4)=31/8;E(1-)2=(1-(-1)2(1/8)+(1-0)2(1/4)+(1-2)2(3/8)+(1-3)2(1/4)=17/8或者， E(1-)2=E(1-2+2)=1- (E2)+E2=17/8。4. 若 的概率密度为fxex)|1
3、。求(1)E ，(2) E2 。解：(1)de|21中因 e-|x|为偶函数，x 为奇函数，故 xe-|x|为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上 1)2(|21)(| 0| dxexf故 E=0。(2) df)(22 !)3(02|exx。5. 轮船横向摇摆的随机振幅 的概率密度为fxAxx() ()2000 求(1)确定系数 A；(2) 遇到大于其振幅均值的概率是多少？解：(1)由密度函数性质知 221,1)( AdAedxf即,即 .0,0,)(2xexfx(2)dxeeddfEx 0222)( )(0)(2 ex，4/2222 eedEPxx。6. 一个仪器由两个主
4、要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度 和 为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表： 9 10 11 6 7p 0.3 0.5 0.2 p 0.4 0.6试求 E(+)，E( )。解：因为 E=90.3+100.5+110.2=9.9，E =60.4+70.6=6.6，故 E(+)=E+E=9.9+6.6=16.5；又 和 为两个相互独立的，因此有 E()=EE=9.96.6=65.34。7. 已知( ， )的联合概率密度为fxyxy(,)40101其 它试求 E(2+2)。解：E( 2+2)= 4)(),(1022 xyddxyf。8. 一民航送客车载有 20 位旅客自机
5、场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以 表示停车的次数，求 E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。解：引入随机变量 .,1,0站 有 人 下 车在 第 站 没 有 人 下 车在 第 ii易知， 1021 ，现在求 E 由题设，任一游客在第 i 站不下车的概率为 9/10，因此， 20 位游客都不在第 i 站下车的概率为(9/10) 20，在第 i 站下车的概率为 1-(9/10)20。也就是P i=0=(9/10)20， P i=1=1-(9/10)20( 10,2i)，因此，E i=1-(9/10)20( 10,2)
6、。故 E=E 784.)/9()( 20101021 EE (次)9. 圆的直径用 度量，而 且在a，b 上服从均匀分布，试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。解：由于 服从a，b 上的均匀分布，因此 的分布密度为其 它,0,)(xxf .12/)(,abDE而圆的周长 L=，圆的面积 A=2/4，故有EL=E()=E= /)(ba，DL=D()=2D= 12/)(ab；EA=2/4= badxE)(422，又 4= badx(51433，因此DA=EA2-(EA)2=222222 )(16)4 baEba=433(516)7)72022bab10. 设随机变量 ， 相互独立，其概率密度分别
7、为：fxx()10其 它， fyeyy()00其 它试求 E()，D( +)。解：因为 21101)()( dxdxxf，322 6/7，0)(yeyf，222 ddxE，又 与 是独立的，故有 E()=EE=11=1；D(+)=D+D= 6/7126/7)() 2。11. 设随机变量 与 相互独立，且 E=E=0，D =D=1，求 E(+)2 。解： E(+)2= E(2+2+2)= E2+2E()+E2，又 与 相互独立，因此E()= EE，而 D= ,)，同理 )故有 E(+)2=E(2+2+2)= E2+2 EE+E2= +2 EE+ )(=1+1=2。12. 若连续型随机变量的概率密
8、度是fxabxcx()2010其 它且已知 E=0.5，D =0.15，求系数 a, b , c 。解：因为 1)(df，即有 12/3,)(102 cbadxx即又 E=0.5，故 5.0/4/,5.)02cbax即又 E=0.5，D =0.15，因而 E2=0.4，因此4.3/,.(1dcba即解、组成的方程组，解得 a=12，b=-12，c=3。13. 设随机变量 有分布函数.,0,01其 它）（ xexFx求 E(2+1)，D (4) 。解：先求 的分布密度函数.,0,0)( 其 它）（ xedxf x故 1|)(00 xxexfE，2222)(ex,因此 21D。从而有E(2+1)=
9、2E+1=，D(4 )=16D= 216。14. 证明：当 k=E 时，E (-k)2 的值最小，且最小值为 D。解：E( -k)2=E(-E)+(E-k)2= E(-E)2+2E(-E)(E-k)+E(E-k)2= E(-E)2+E(E-k)2=D+ E(E-k)2 D。即当 k= E 时， E(-k)2 取得最小值 D。15. 如果 与 相互独立，不求出 ()的分布，直接用 的分布和 的分布能否计算出 D()，怎样计算？解：因为 与 相互独立，故 D()=E()2- E()2= E(22)-(EE)2= E2E2)-(E)2(E)2。16. 一台仪器有 10 个独立工作的元件组成，每一个元
10、件发生故障的概率为 0.1，试求发生故障的元件数的方差。解：引入随机变量 .,1,0个 元 件 发 生 故 障在 第 个 元 件 不 发 生 故 障在 第 ii易知， 021 ， 09)1(.iD，故 9.0.)( 211 DD 。17. 设随机变量 服从瑞利(R ayleigh)分布，其概率密度为)(00)(2 xexf求 E，D 。解：02dxedxf dxee022202 2dxexdfxE2022. xdeex0.22.=202.xe2224ED。18. 若 1， 2， 3 为相互独立的随机变量，且31229018448， ， ，试求： 35的数学期望和方差。解： 29150295)(
11、 321 EE ，21232312134 EE4709485083 ,故 67)(22D。19.设二维随机变量( ， )的联合分布律为-1 0 1-1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8计算 ，并判断 与 是否独立。证明：由题得( , )的边际分布律各为 -1 0 1 -1 0 1pi. 3/8 2/8 3/8 p.j 3/8 2/8 3/8 pijp i.p.j，(i,j=1,2,3) 故 与 不独立。又 31 ,083283).iixE. ,10(jjyijijipx, 0)()(,( ECov 0，即 与 不相关。20. 设二维随机变量( ， )的联合
12、概率密度为：fxyxy(, 1102其 它试验证 和 是不相关的，但 和 并不相互独立。解：先求 f(x),f (y): .,0,1,12),()(12 其 它xdydyxff x同理 .,0,1,12),()( 其 它ydyxff 显然，f(x, y) f(x)f (y)，故 与 不独立。又 .012, dxxdE.)(1yyyf故 12.01)()(, xdydECov 0),(D，即 与 不相关。21. 设随机变量( ， )的联合概率密度为：其 它010,1,( xyyxf求：E ，E ，C ov(， )。解： 10102,3)(,( dxxdyxfdxyf,)y10.,()(fx 32
13、), ECov22 . 设有随机变量 和 ，已知 D=25，D =36， =0.4，计算 D(+)，D( -)。解：由于 ,()(CovD,2461325故 D(X+Y)=61+24=85， D(X-Y)=61-24=37。23. 证明：当 ， 不相关时，有：(1)E()=EE(2)D( )=D+D。证明：(1)因为 )()(，由题知 ， 是不相关的，故 =0，因此，有 E()=EE。(2)D()=E()2-E()2=E22+2-(E)22(E)(E)+(E)2= E2-(E)2+E2-(E)22(E)(E) 2(E)(E)=D+D。24. 设( ， )在 上 服 从 均 匀 分 布， 01x
14、yxG。试求 。解：因为( ， )在 上 服 从 均 匀 分 布， ，故联合密度为.,0,0,12),(其 它 xyxyxf 10,32ddyEx1),(yxf10,42)(y21dxEx1022,6dxyEx,8/)3/()(2D62 21/1)3(4/。25. 设( ，)的联合概率密度为其 它0|,|41),( yxxyxf证明： 与 不独立，但 2 与 2 独立。解： 与 的边际概率密度为 .,0,1,41),()( 其 它xdyxdyxff同理 .,0,1,2),()( 其 它ydyxff显然， f(x, y)f(x)f (y)，故 与 不独立。令 2121,，则当 z0 时， 02z
15、PzzF；当 0z1 时， )(11 zzdxxfzz21)(1；当 z1 时， )(1,故 .,0,2)(1 其 它zzf类似地可求得 1 的分布密度函数为.,0,1,21)(1 其 它wzf令( 1， 1)的分布函数为 F(z, w)，则有当 z0,或 w 0，易知 F(z, w)=0；当 0z1，0 w1 时，,),( 21 wzPwzPPF dyxz4；当 z1，0 w1 时， /),(zF；当 0z1，w1 时， 2w；当 z1,或 w 1， F(z, w)=1；故( 1， 1)的联合分布密度函数为.,0,10,41),(),(2 其 它 wzzzzf因此有 ),()(11 wffzf，即 1， 1 是相互独立的。26. 设 1， 2 为独立的随机变量，且都服从 N(0， 2)，记122， 试 求， 。解： ,)(),(12121 DEDCov而 ;022EE)(2 222221111 )()()() )( DD,2122 )(21 )(01 E。27. 设随机变量 服从指数分布，其概率密度为fxexx() (00）试求 k 阶原点矩 E(k) 。解：E( k)= 010 |)( dxekexdedf kxk kkxk de !|)!(1|)( 021
