1、习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。解： ；12,4,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为1， 2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ;,4jij(5) 检查两件产品是否合格。解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则 ；1,
2、0,5(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温( 假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。解：用 表示最低气温, 表示最高气温。考虑到这是一个二维的样本空间，故：xy；216,Ty(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。解： ；07x(8) 在长为 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.l解： ；lyxxy0,81.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生。 ；AB(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。 ；)(C(3) A,B,C 中至少有一个发生。 ；(4) A,B,C 中恰有一个发生。 ；CBABA(5) A,B,C 中至少有两个发生。
3、 ；(6) A,B,C 中至多有一个发生。 ；(7) A。B。C 中至多有两个发生。 ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间 , 事件 = ,20xA15.0x6.18.0xB具体写出下列各事件：(1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) ABB（1 ） ；18.0x(2) = ；.5(3) = 。 BA28.0xx(4) = 6.151.6 按从小到大次序排列 , 并说明理由.)(),(,(), BPABAP解：由于 故 ，而由加法公式，有：,AB)()(P1.7 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
4、175.0)()()( WEPEWP(2) 由于事件 可以分解为互斥事件 ，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 WEW概率为： 1.0)()(PEP(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为： .8250)(1)(EWP1.8 解：(1) 由于 ，故 显然当 时P(AB) BA, ),(),(BAPA取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于 。显然当 时P(AB) )()()( BP 1)(取到最小值，最小值是0.4.1.9 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0. 至少有一个发生的概率为：CBA, 7.0)()()()()()( ABCPBCPPCBAP1.10
5、 解(9) 通过作图，可以知道， 3.0)()(BPABP(10) 61)(ABP7.0)(1)()( )()(1)3 ABP由 于1.11 解：用 表示事件“杯中球的最大个数为 个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有iAi种，每种放法等可能。46对事件 ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故1A 83)(1AP(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件 ：必须三球都放入一杯中。放法有4种。( 只需从4 个杯中选1个杯子，放入此3个A球，选法有4种)，故 。16)(3P6981)(2A1.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数
6、和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2 ，1）。故前后两次出现的点数之和为3 的概率为 18。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是 。91,2(6) 1.13 解：从10个数中任取三个数，共有 种取法，亦即基本事件总数为120。1203C(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5 ，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为 。624C20(2) 若要三个数中最大的一个是5 ，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为 。102 11.14 解：分别用 表示事件：321,A(1) 取到两只黄球。 (2) 取到两只白球。 (3) 取到
7、一只白球, 一只黄球.则。16)(,3468)( 21421 CPCP 316)()(213APAP1.15 解： )()()( BPABPAP由于 ，故0)(B 5.0)()()( 1.16(1) （2）);(BAP);(BAP解：（1） ;8.054.1)(1)( BAPAP（2） ;6)()( 注意：因为 ，所以 。5.0BAP5.0)(1BAP1.17 解：用 表示事件“第 次取到的是正品”（ ），则 表示事件“第 次取到的i i 3,21ii i是次品”（ ）。3,211 12153421(),()()20498PAPAPA(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次
8、品”的概率为：。3125()8PA(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：1231213125435()()()09182PA（3 ） 事件“第三次取到次品 ”的概率为：此题要注意区分事件（1）、 (2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 表示事件“第 次取到的是正品”（iAi），2,i则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为： ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：1)(2AP。区别是显然的。)()(12121AP1.18。解：用 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 ”。用 表示事件“从)2,10(iA i
9、B第二箱中取到的是次品”。则 21 212044146(),(),(),999CCCPPPA， ， ，0()2BA1()BA23()根据全概率公式，有： 283)()()()( 2100 ABPPP1.19解：设 表示事件“所用小麦种子为 等种子”，)3,21(iAi表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。B则 ， ，123()0.9,()0.5,()0.,PPA1()0.5BA2()0.15PBA，根据全概率公式，有：3A 4705.)()()()( 33221 B1.20 解：用 表示色盲， 表示男性，则 表示女性，由已知条件，显然有：BA因此：,025.)(,05.)(,49.0)(
10、,51.)( ABPPA根据贝叶斯公式，所求概率为： 1502)()()()()( ABPABB1.21 解：用 表示对实验呈阳性反应， 表示癌症患者，则 表示非癌症患者，显然有：BAA,01.)(,95.0)(,95.0)(,5.0)( BPAP因此根据贝叶斯公式，所求概率为： 2945)()()()()( ABPAPBAPBAP1.22 (1) 求该批产品的合格率。(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设， , 321 产 品 为 丙 厂 生 产产 品 为 乙 厂 生 产产 品 为 甲 厂 生 产 B
11、BB，则产 品 为 合 格 品A（1 ） 根据全概率公式， ，该批94.0)()()()( 321 BAPBAPBPA产品的合格率为0.94.（2 ） 根据贝叶斯公式， 941)()()()( 32111同理可以求得 ，因此，从该10 箱中任取一箱, 472)(,927)(3ABP再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为： 。472,911.23解：记 =目标被击中 ，则A 94.0)71(8.0)9.1()(1)( AP1.24 解：记 =四次独立实验，事件A 至少发生一次， =四次独立实验，事件A 4 4一次也不发生。而 ，因此5904.)(4P
12、 4096.)()1)( APP。所以 2.81,8.0)(三次独立实验中, 事件A 发生一次的概率为： 。384.06.23)(1)(3 APC二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称 为事件A发生条件下，事件)(PBB发生的条件概率，记为 。)/(ABP（16）贝叶斯公式，i=1，2，n。nj
13、jjiii BAPABP1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据 ，得 ，即 。1)(0kX10kae1ea故 1ea2.3解：用 X表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=00112222 002 2.73.460.73.406.73.46.3
14、124CCC(2)甲比乙投中的次数多PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=102021022 2 2.73.46.73.46.73.460.5282.4解:（1）P 1 X3= PX=1+ PX=2+ PX=3= 155(2) P0.50（3 ）设F Y(y)， 分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则()fy当 时，y020YPXyP当 时， 22 1() xyYFy Xed对 求关于y的导数，得()Y2 2 2() () (ln)111()0yy yYeeef 02.23 :XU(,)1(0Xfxx其 它（1 ）2lny当 时 2()2lnln0YFPXy
15、Py2lny当 时 222 01()llnyeyYFPXyPyXePdx对 求关于y的导数，得到()Y 221()()0yyYeflnl（2 ），当 y1或 -时 ()cos0YFyPXyP,当 时 arcos1arY ydx对 求关于y的导数，得到()YF211(arcos)()0Yyfyy1其 它（3 ） 当 1或 时 ()sin0YFPXyP， 0y当 时 arcsin0arcsin()0arcsinarcsin11YyyFPXPyPyXdxdx 对 求关于y的导数，得到()Y 21arcsin(arcsin)() 10Y yfy y 01其 它第三章 随机向量3.1 P1X 2,3Y
16、5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)=31283.2YX1 22 0=2345c3=31245c03.4（1）a= 9（2 ） 5（3 ） 1 11200 0(,)(6)(6)99|y yPXYDdxdyxd 12320 865)59 37|yy3.5解：（ 1） (2) 22200000(,) (|)|(1)yxyxuvvuvyuxyxFededee（2 ）(2)22000002232300() (|)11)(|)|x xxy vxyxx xxxPYXededyede3.6解： 2 22 2 201()()(1)axya rPxy ddxy22 22 2001()()(1
17、)|a addrra3.7参见课本后面P227的答案3.8311120003()(,) 2|X yxfxfydx22000()(,)|yff,()20Xxf其 它 23()Yyf1其 它3.9解： X的边缘概率密度函数 为：()Xfx当 时， ，10x或 ,0fyf12 22200 1()4.8(2)4.84.81()4.8(2).4().4()|Y yyx xXfxdxyfydyx或当 时，12200().8().().4()|x xXfdyxY的边缘概率密度函数 为：()Yfy 当 时， ，10y或 ,0fx()Yfy 当 时，1 12 21()4.824.84.8|Y yyfxdxy22
18、.4(3y3.10 （1）参见课本后面P227的答案（2 ） 26()0xXdyf1其 它 6=0x（ -） 1其 它6()0yYdxf1其 它 60y（ -） 1其 它3.11参见课本后面 P228的答案3.12参见课本后面 P228的答案3.13（1） 20()()3Xxydfx01其 它 23x01x其 它120()()3Yxydfy2其 它 1=360y2其 它对于 时， ，2y()Yfy所以2| 3(,)1()60XYYxyfxyf1其 它 26+0xy1x其 它对于 时，01x()0Xfx所以2| 3(,)()0YXXxyfxyfy2其 它 360xy2其 它111222|0003
19、31 7|()2 5406YXyyPYfyddd3.14X Y 0 2 5 X的边缘分布1 0.15 0.25 0.35 0.753 0.05 0.18 0.02 0.25Y的边缘分布 0.2 0.43 0.37 1由表格可知 PX=1。Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故 P;P yYxXyxiiii 所以X与Y不独立3.15X Y 1 2 3 X的边缘分布1 69118312 31a b +a+bY的边缘分布 2a+ 91b+181由独立的条件 则P;P yYxXyYxiiii 2PX2;PYY33;1Pi可以列出方程 aba)9(3(1)83ba0,解得 91,2ba3.16
20、 解（ 1）在3.8 中 ()20Xxf其 它 23()0Yyf1其 它当 ， 时，02xy()XYfxy2(,)xfy当 或 时，当 或 时，10()XYf0,fx所以， X与Y之间相互独立。（2 ）在3.9 中，2.4()()0xf1x其 它2.4(3)()0Yyfy其 它当 ， 时，1xy()XYfxy2222.4().(34)5.76()34)xyxy=，所以X与Y之间不相互独立。,f3.17解： xeyxefx ddyxf 02)1(),()( )(2021),()(fyxfyx),(1)(2yxfyxefx故X 与Y相互独立3.18参见课本后面 P228的答案第四章 数字特征4.1
21、 解： ()1iEXxp0.9iYy甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3，4 ，53510.PC2354.X24350.6PXC().1.350.64iExp4.3参见课本 230页参考答案4.4解： 1(),2,3.nPXp121 1() ()ninpEx 4.6参考课本 230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则 (3,0.4)XB()40.312Enp4.8解 xdfX)()( xd)30(1301521502500+10001500 4.9参见课本后面230 页参考答案4.10
22、参见课本后面 231页参考答案4.11 解:设均值为 ,方差为 ,则XN( , )根据题意有:22)96(1)96(XP)7296(1XP)t%3.2,解得t=2即 =1297.0)(t所以成绩在60到84 的概率为 )127-84X12-60P(84)XP(60-1()21-0.84364.12 2222().0.3.0.1EX222254.(514).(54).(534)0.14.13解： 0000()()2 |xxxxxEYXedeede22330001() |Xxxxdee4.14解： 34RV设球的直径为X,则：1()0fxbax其 它333 424()112()()=()66|b
23、baaXEVExdxba4.15参看课本后面 231页答案4.16 解: xyfdyxfxx 41302),()( yfyy 322, 54)()(10dxxXE31043 yyYf 10310310 2122),()( xxyxy dyddfXE3)()(05224f 521022 dydyfEY6)()( 222YXE4.17解X与Y相互独立， 1 153500 52()()2()()|y yEXYxdexde5552()433|yye4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232 页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和， 表示第 颗骰子出现的点数，则iX(1,20) i，
24、且 是10ii1210,独立同分布的，又 12()66iEX所以1010()()35iiii4.22参看课本后面 232页答案4.23 2222()0.41.301EX222()D2222()0.31.50.31.EY222().9.4EY4.24 4 242224430201111()()63|Xxdxdxx22()3DE4.251()40Xxydfx1其 它 =201x其 它112222()(VarEXxdx11323|xx1()40Yydfy其 它 =201y其 它112222()()VarYEYydy11323|yy4.26因为XN(0,4),YU(0,4) 所以有 Var(X)=4
25、Var(Y)= 34故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+ =3416Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 2894.27参看课本后面 232页答案4.28 1212()()()n nXXXEZEEn 12()nn 12() ()()()nXXXDZDDn 22122 2()()()nEEn 后面4题不作详解第五章 极限理5.3解：用 表示每包大M的重量，则 ,iX()10iEX2()0.1iDX102(,)(10,.)iiNn10 1012 (0,1)0.i i ii i iXXZ Nn1010910(9)( )iiii XPXP 10()()()()102
26、()10.9865.4解：因为 服从区间0,10上的均匀分布，iV01()52iE210()iD20020111 10(),()(25,)iiiiVNVN202020111() (0,1)53iii iiiEZ NDV202011 510(105)(15)(5)()3ii VPPPVP105()(0.387).435.5解：方法 1：用 表示每个部件的情况，则 ，iX1,0iX正 常 工 作损 坏 (1,0.9)iXB,()0.9iEp()(1).9iDp10,0.,0.1)iiNnN 101010.9(0,1)3()i i ii i iXnpXZ N101010 9850(85)(85)()
27、3iii ii iPXPXP()(.923方法2：用X表示 100个部件中正常工作的部件数，则(10,.9)B).0Enp()(1)0.91DXnp,(1)9,XNN(0,)3(XZN0(,1)3(1npXZ9085(85)(85)()310.923XPP5.6略第六章样本与统计6.16.3.1证明 :由 = +b可得，对等式两边求和再除以n有nbanniiniiXY11)(由于 niiY1niiX1所以由 可得= =Ynbanii1Xa6.3.2因为 Yniinii 2112)( bXainini 212)()2(2 221 abXabnini niiini 122212niiai1222 )(niX122SaX2)(Yn21所以有 X22
