常见重要不等式

1、2 排序不等式,学习目标,1.了解排序不等式的“探究猜想证明应用”的研究过程. 2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.,预习自测,acbdadbc,自主探究,1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？,提示 有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系.与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应。

2、,第 二 章,几个重要的不等式,1柯西不等式11简单形式的柯西不等式12一般形式的柯西不等式,1简单形式的柯西不等式(1)理解并掌握二维形式柯西不等式的数学意义和几何背景，会应用二维形式的柯西不等式证明简单的不等式或求一些特定函数的最值(2)掌握二维形式的三角不等式的代数形式及其几何意义(3)理解柯西不等式在证明中的作用,学习目标,2一般形式的柯西不等式理解一般形式的柯西不等式的证明过程，掌握一般形式的柯西不等式；会用一般形式的柯西不等式解决一些简单问题. 1用柯西不等式进行简单的证明(重点)2用柯西不等式求最值(重点)3二维。

3、,第二章 几个重要的不等式,2 排序不等式,阅读教材P32P34“排序不等式”的有关内容，完成下列问题： 1定理1 设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbd_，此式当且仅当_时取等号 2顺序和、乱序和、逆序和的概念 设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1a2a3，b1 b2b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式，通常称_为顺序和，_为乱序和，a1b3a2b2a3b1为逆序和(倒序和),adbc,ab(或cd),a1b1a2b2a3b3,a1bj1a2bj2a3bj3,3定理2(排序不等式) 设有两个有序实数组 a1a2an及b1b2bn， 则(顺序和)_ (乱序和)_ (逆序和)_. 其中j1。

4、一元二次不等式恒成立问题,高中数学复习中的恒成立问题，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查同学们的综合解题能力。因此也成为历年高考的一个热点。,一元二次不等式恒成立问题作为恒成立问题的基础，具有举足轻重的作用,一元二次不等式恒成立问题基本策略是转化为研究函数单调性求最值的问题,例16：,变式1：,类型：,一元二次不等式在R上恒成立问题,方法：,化归为二次函数，数形结合,变式2：,变式2：,类型：,方法：,一元二次不等式在给定区间上恒成立问题,（1）二次函数法,（2）分离参数法,总结：,变式三：,。,。

5、0浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式.关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。1. 凹凸函数的定义与性质1.1 定义设 是在区间 上有定义的连续的函数，。

6、常见不等式的解法,一、分式不等式,例1、解不等式：,解：方法一：由,整理得：,不等式组（1）的解集为（ ） ，不等式组（2）的解集为 .,所以原不等式的解集为不等式组（1）的解集和不等式组（2）的解集的并集（ ）,得：,例1、解不等式：,解：方法二：,(5x-5)(3x-2)0,方法小结,本例提供的两种方法都 是先移项，将不等式的一边变为零，另外一边经过通分后转化为形如 的形式。方法一讨论f(x)和g(x)的正负，通过解整式不等式组 求得解集。方法二 通过整式不等式f(x)g(x)0)求得解集。,例2：解不等式,所以原不等式的解集为:,?,求解分式不等式时每。

7、 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西。

8、2.3 几个常用的重要不等式,【考纲要求】 了解基本不等式的形式. 【学习重点】 基本不等式在解决最值问题中的应用.,一、自主学习 (一)知识归纳,(二)基础训练,【答案】B,【答案】A,【答案】B,【答案】B,【答案】B,分析:4y2+4xy+x+6=04y2+4xy+x2-x2+x+6=0(2y+x)2=x2-x-60(x-3)(x+2)0x3或x-2,所以选C.,二、探究提高,三、达标训练,【答案】C,5,【答案】A,1,。

9、2020 4 8 1 必修五总复习 重要不等式 2020 4 8 2 要点 疑点 考点 1 复习并掌握 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 的定理 了解它的变式 1 a2 b2 2ab a b R 2 a b R 3 ab 0 4 。

10、第 1 页 共 16 页高中竞赛之重要不等式1柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理 1 对任意实数组 恒有不等式“积和方不大于方和积”，,(1,2)iabn即等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明 1左= 右-左=21niijjabab当且仅当 时，等式成立。柯西不等式的两个推论：设 同号（ ），则当且仅当 时取等号。若 ，且 ，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。3 次可以推广为 4、5 等 n 次。第 2 页 共 16 页33333 312121212(a+)(b+)(c)(abc。

11、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com重要不等式及其应用教案教学目的(1)使学生掌握基本不等式 a2b 22ab(a 、bR，当且仅当 a=b 时取“=” 号) 和 a3b 3c 33abc(a、b、cR +，当且仅当 a=b=c 时取“=”号 )及其推论，并能应用它们证明一些不等式(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，。

12、 关于 lnx 的重要不等式及其应用基本不等式： )0(,1ln1xx证明：例题 1 设 求证：,012x12lnxx例题 2 已知 求证：,1ln)(xxf .0)(xf变形 1：若 则,0xxx1)ln(1例题 3 任意 ,求证：Nn 3ln1.212ln例题 4 任意 ,求证：Nnne!1变形 2：若 则,0x1ln2x例题 5 求证： )2(,41ln.43l2n例题 6 求证： )2(,)12ln.3l2n)1(2 n关于 的重要不等式归纳：xln（1 ） )0(,1lx（2 ） )1(,21ln.),(ln xx（3 ） )0(,)1l).1(,l xx（4 ） )0(,2)ln(x（5 ） )1(,ln).1(,l x强化训练1.求证： ),1(2)ln.3l2n Nn2.求证： )(,1.321)ln( Nn3.求证： ).(12.7513)ln( Nn4.已知数。

13、几个重要不等式一、平均值不等式设 a1,a2, an 是 n 个正实数，则 ，当且仅当 a1=a2=an 时取nnaaa 2121等号1.二维平均值不等式的变形(1)对实数 a,b 有 a2+b22ab (2)对正实数 a,b 有 ab2(3)对 b0，有 ， (4)对 ab20 有 ， ba412 1(5)对实数 a,b 有 a(ab)b(ab) (6)对 a0,有 (7) 对 a0,有 (8)对实数 a，b 有 a22abb21(9) 对实数 a，b 及0，有 )(22bab二、例题选讲例 1.证明柯西不等式 )()(12121nininii bab证明：法一、若 或 命题显然成立，对 0 且 0，取012nia12ni nia12nib12代入(9)得 有niiab122 )(2| 2iii bab nininininininii babb 12121。

14、重要不等式及其应用教案教学目的(1)使学生掌握基本不等式 a2b 22ab(a 、bR，当且仅当 a=b 时取“=” 号) 和 a3b 3c 33abc(a、b、cR +，当且仅当 a=b=c 时取“=”号 )及其推论，并能应用它们证明一些不等式(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法如果 a、bR，那么(ab) 2 属于什么数集？为什么？生：。

15、几个重要不等式(二)柯西不等式，当且仅当 bi=lai (1in)时取等号柯西不等式的几种变形形式1.设 aiR,bi0 (i=1,2,n)则 ，当且仅当 bi=lai (1in)时取等号2.设 ai,bi同号且不为零( i=1,2,n)，则 ，当且仅当 b1=b2=bn时取等号例 1.已知 a1,a2,a3,an， b1,b2,bn为正数，求证：证明：左边=例 2.对实数 a1,a2,an,求证：证明：左边=例 3.在 DABC 中，设其各边长为 a,b,c,外接圆半径为 R，求证：证明：左边例 4.设 a,b,c 为正数，且 a+b+c=1,求证：证明：左边=例 5.若 n 是不小于 2 的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由。

16、例 1 设 ，求证：xR22 3()3)()6.xxfx证明 令 ，则t2(1)2.ttgt分两种情形：（1） 时， .2t2(1)9t 2()()6;tg（2） 时， .t0212()ttt 21tttt4612tt.点评 注意到 ，故先作代换 ，使 的表达形式更简单，放缩()f1tx()fx较为大胆，但要注意 时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。0t例 2 设 ，证明：22,xyzyz 3;112yzzx证明 我们证明 21xz事实上， ，而 ，故成立.y1yzx同理， .22,11zzxx因此， ，故原不等式左边成立.2y下面证明原不等式右边：，2211xxxyzz记 ，则 ，21tf21tft当 时， ，0t0ft因此 在 时是增函数，f,222411tttf22314。

17、几个重要不等式,a,b,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积是S=,问1：在正方形ABCD中,EFGH为正方形设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=，,问3：S与S有什么样的关系？,从图形中易得， s s,即,探究1,探究2,问题1：那么它们有相等的情况吗？何时相等？,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,a=b,形的角度,数的角度,当a=b时 a2+b22ab =(ab)2=0,证明:,综合(1),(2),得,注意:,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果也可写成,a0 ,b0 ,探究3,证明:,平均不等式,概念,两个正数的算术平均。

18、常见的几个重要不等式,该幻灯片是介绍初等数学中几个重要的不等式，其中包括平均数不等式，白努力不等式和柯西不等式，最后还列出了几个著名的不等式.由不等式的性质引出新课，一步步将新授课传授给学生.,一、不等式的基本性质,常见的几个重要不等式,六、小结,五、一些有用的不等式,四、柯西不等式的证明与应用,三、白努力不等式的证明与应用,二、平均数不等式的证明与应用,不等式的基本性质,两个取值为实数的函数.若u-v是正数 ，就说,u大于v,记成uv，也说v小于u,记成vb , bc , 则ac 2.在ab , ab , 则a+c b+c 4.不等式的不等号两边移项时。