1、几个重要不等式(二)柯西不等式，当且仅当 bi=lai (1in)时取等号柯西不等式的几种变形形式1.设 aiR,bi0 (i=1,2,n)则 ，当且仅当 bi=lai (1in)时取等号2.设 ai,bi同号且不为零( i=1,2,n)，则 ，当且仅当 b1=b2=bn时取等号例 1.已知 a1,a2,a3,an， b1,b2,bn为正数，求证：证明：左边=例 2.对实数 a1,a2,an,求证：证明：左边=例 3.在 DABC 中，设其各边长为 a,b,c,外接圆半径为 R，求证：证明：左边例 4.设 a,b,c 为正数，且 a+b+c=1,求证：证明：左边=例 5.若 n 是不小于 2
2、的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有0,则 0 且 a12b12c120则例 4.设 a1,a2,an是 1,2,n 的一个排列，求证：证明：设 b1,b2,bn-1是 a1,a2,an-1的一个排列，且 b10由排序不等式有：两式相加得又因为： a3b3c30,故两式相加得例 6.切比雪不等式：若 a1a2an且 b1b2bn,则a1a2an且 b1b2bn,则证明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+anbn= a1b1+a2b2+anbna1b1+a2b2+anbn a1b2+a2b3+anb1a1b1+a2b2+anbn a1b3+a2b4+anb2a1b1+a2b2+anbn a1bn+a2b1+anbn-1将以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+anbn) a1(b1+b2+bn)+ a2(b1+b2+bn)+ an(b1+b2+bn)摘自数学教育之窗
