1、常见的几个重要不等式,该幻灯片是介绍初等数学中几个重要的不等式，其中包括平均数不等式，白努力不等式和柯西不等式，最后还列出了几个著名的不等式.由不等式的性质引出新课，一步步将新授课传授给学生.,一、不等式的基本性质,常见的几个重要不等式,六、小结,五、一些有用的不等式,四、柯西不等式的证明与应用,三、白努力不等式的证明与应用,二、平均数不等式的证明与应用,不等式的基本性质,两个取值为实数的函数.若u-v是正数 ，就说,u大于v,记成uv，也说v小于u,记成vb , bc , 则ac 2.在ab , ab , 则a+c b+c 4.不等式的不等号两边移项时符号反号 5.若ab , cd , 则a
2、+c b+d 6.若ab , c b-d,不等式的基本性质,7.若ab , 则当c0时, acbc ;当c0时, acb0 , 0 b/d,8.若ab0 , cd0 , 则 acbd,不等式的基本性质,完全平方公式引出的不等式:,由任何数的平方不小于0，则有：,结论：任意两个数的平方和不小于两个数 积的两倍,平均数不等式的证明与应用,定义：,几何平均数,调和平均数,算术平均数,平均数不等式的证明与应用,由于,令,假定定理1在n=k (k1)时成立，当n=k+1时,证明：,定理1,平均数不等式的证明与应用,至此，证明了定理1对任何整数n1都成立.,所以,(1)成立,中至少有两个不等，按归纳假定，
3、（2）不取,若,等号；,定理1,由定理1还可以得出几个推论：,（即： 个正整数的调和平均数不大于它们的,推论2,想一想：定理1的这两个推论应该怎么证明？,平均数不等式的证明与应用,推论1,几何平均数）,定理1及其推论在证明不等式和求最值等方,证明：,即得证,平均数不等式的证明与应用,面有广泛的应用,例2. 求周长为定值的一类四边形的面积的最,如图,则,b,a,a,b,c,d,平均数不等式的证明与应用,大值.,解：,定理2,其中等号成立的充要条件为x=0,证明：,其中等号恰在1+x=1,即x=0时成立,白努力不等式的证明与应用,设x-1,则,由刚才证明的结果,有,即1）得证,白努力不等式的证明与应用,定理2,其中等号成立的充要条件为x=0,设x-1,则,证明：,证明：,依定理2的1），有,于是,由上面两个不等式，即得证,白努力不等式的证明与应用,由,定理3.,证明一：,两边同时平方，即得柯西不等式,柯西不等式的证明与应用,证明二：,设实变量x的二次函数,例4.证明三角形不等式：,证明：,按定理3有,两式相加得,柯西不等式的证明与应用,例5.设三角形的三边为a，b，c，面积为S .,证明：,柯西不等式的证明与应用,一些有用的不等式,例5所证的不等式为魏琴伯克不等式,小 结,定理1,定理3.,定理2,其中等号成立的充要条件为x=0,设x-1,则,推论2,推论1,谢谢观赏!,
