1、第 1 页 共 16 页高中竞赛之重要不等式1柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理 1 对任意实数组 恒有不等式“积和方不大于方和积”，,(1,2)iabn即等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明 1左= 右-左=21niijjabab当且仅当 时，等式成立。柯西不等式的两个推论：设 同号（ ），则当且仅当 时取等号。若 ，且 ，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。3 次可以推广为 4、5 等 n 次。第 2 页 共 16 页33333 312121212(a+)(b+)(c)(abc+ab
2、c) 证明:对 和3333分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设 ， ， ； ， ， 是两组正数， 且 ，则0k1（ ）（ ）当且仅当 时等号成立。12naabb闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。若记 ， ，则上式为第 3 页 共 16 页特例：221212()()mmabba 2221212121()()()mmmccacacb 多个根式可转化为一个根式。赫尔德不等式已知 （ ）是 个正实数， ，则上式中若令 ， ， ，则此赫
3、尔德不等式即为柯西不12等式。2排序不等式，排序原理 （给的是两列数且为对称的）设 ， ，则有naa21 nbb21iiitnibi111即“反序和” “乱序和” “同序和” 其中 nttn,21,21 当且仅当 或 nbb21时等号成立naa21切比雪夫不等式实数 ， 满足 ，ii na21（ ， ， ） 则nbb21 niiniinii baa1111当且仅当 或 时等号成立n2 nb2第 4 页 共 16 页下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。如图，矩形 OPAQ 中， ， ，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段 MN 向上翻折比较即知）。
4、于是有，也即3 琴生不等式凸函数定义1设 是定义在闭区间 上的函数，若对任意 ， 和任xfba, xyba,意 ，有,0yfxfy11成立，则称 是 上的凸函数（也称下凸函数或凹函数） xfba,2设 是定义在 上的函数，若对任意 ， 且 和任, xbay,yx意 ，有1,0fxfyxf 11成立，则称 是 上的严格凸函数ba,3设 是定义在 上的函数，若对任意 ， 和任意xf, xyba,，有1,0fxfy11成立，则称 是 上的上凸函数xfba,第 5 页 共 16 页凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大 )于其函数值的算术平均值从图象上看，表明联结
5、上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)见图 1图 1注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的任意两点 x1 和 x2 都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方并且由此形成的弓形是凸的区域正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断例如，读者不难根据图象可以得出：幂函数 y=xa当 a 1 或 a0 时，是(0，)上的下凸函数；当 0a1时，是(0 ，) 上的上凸函数指数函数 y=ax(a0，a
6、1)是(- ，)上的下凸函数对数函数 y=logcx(a1) 当 a 1 时，是(0，) 上的上凸函数；当0a1 时，是 (0，)上的下凸函数三角函数 y=sinx 是0，上的上凸函数，是，2上的下凸函上述函数的凸性；也可以根据定义用初等方法来证明学过微分学的读者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性即，若函数 f(x)对在定义域(a，b)内的所有 x 恒有 0，则 f(x)是(a，b)上的上凸函数；如 f()果恒有 0， 则 f(x)是 f()x (a， b)上的下凸函数第 6 页 共 16 页琴生Jensen ）不等式 （变量做和）若 是区间 上的凸函数，则对任意 ， ， 有xfb
7、a, 1x2nxba,niini xff11当且仅当 时等号成立当 为上凸函数时，不等式反向nx2 xf琴生Jensen ）不等式推论，即加权琴生不等式若 是区间 上的凸函数，则对任意 ， ， 和对任fba, 12nxba,意满足 的正数 ， ， ，有1nip1p2np当且仅当 时等号成立niiniixfxf11 nxx21若令 qi=pi(p 1p n)，其中 p1，p n是任意正数则琴生不等式(2)变成：在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函数，便得不同的不等式例 1 令 f(x)=xk，x0，k1，则 f(x)是 R+上的凸函数，因此有第 7 页 共 16 页例 2 令 f(x)=l
8、gx，x0，则 f(x)是 R+上的凹函数，故有取反对数，得此即加权平均不等式1设 全是正数，且 （ ， ， ） ，且 ，iainiams112nm求证：2n（1） ；nasnii1（2） msnii1证明：不妨设 ，于是021naa， 由切比雪夫不等式得1ssnn 11an （*） niiiiii smaa 1111第 8 页 共 16 页又由均值不等式知 又 ，所以ninia11nims1，而 ，代入（*）后整理可得（1）成立msannii11 另一方面， 由切比雪夫不等式得nasas21 na21 （*） iniinii 111由均值不等式：，故 nmsasnasiinii 11 nii
9、as1smn又 ，代入（*）整理后可得（2）成立nim12有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第 个人的水桶需要i分钟，且这些 （ ， ， ）各不相等，试问：itit110（1）只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？（2）若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？解：（1）设安某次序打水时水龙头灌满第 个人的水桶需要 分钟，则iis第一人花费的时间为分钟，第二人花费的时间为 分钟，第十人21s花费的时间为 分钟总的花10第 9 页 共 16 页费时间为1s2 1021s
10、s 10921ss其中，序列 ， ， 是 ， ， 的一个排列由题设各1t20t各不相同，不妨设 ，则由排序原理知itt2 10109210ss 1092tt即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间：先安打水所需时间从小到大依次排队，然后逐个打水即此时花费时间最省，总花费的时间为（ ）分钟109210tt（2）如果有两个水龙头，设总时间最少时有 个人在第一个水龙头打水，m设依次所需时间为 ， ， ；有 个人在第二个水龙头打水，1p2mp依次所需时间设为 ， ， 显然必有一个水龙头的打水人数不少qq10于 人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则5由（1）知：
11、0m， mpp2 mqq1021总花费的时间为：mmqT 102121 9其中 ， qp1012, 02,ttt t首先我们来证明 若不然，我们让在第一个水龙头打水的第一人到5第二个水龙头的第一位去，则总花费的时间变为：mmqppT 10112 01 01即当 时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减5第 10 页 共 16 页少故在 时，总时间可能取得最小值5m由于 ，故两个水龙头人一样多总用时为：5432154321 44 qqppT 由于， 521 521q不妨设 下证 否则我们交换用时为 ， 的两人的位置1tpp1q2p后，总用时变为，54325431 4245qT 2p
12、0即经交换后总时间变少故 也即 21pq21tq类似地我们可以证明： （ ， ， ， ） ， 从iii 345qp而最省时的打水顺序为：水龙头一： ， ， ， ， ；水龙头二： ， ， ， ， 1t35t79t2t46t810t其中： 2 103在 中，求证下列各不等式：ABC（1） ；23sinsin（2） ，其中 且 mmtattat N2m证明：（1）考查正弦函数 ，在 为上凸函数，故xysin,023si3i3sinsin CBABA第 11 页 共 16 页即 23sinsinCBA（2）考查函数 ，在 上是凸函数mxfta,06设 ， ，证明： 0xy2lnllnyxy证明：考查函
13、数 （ ） ，其二阶导数 ，故其xf01f为凸函数所以，2yfxyxf即yxyxlnl1ln27对正数 ， ， ，1a2a若 或 ，则k0；knknk 2121若 ，则0knknk aaa 2121证明：考查函数 （ ） 其二阶导数 kxf021kxxf当 或 时， ，故函数 （ ）为凸函数；0k1kxf0当 时， ，故函数 （ ）为上凸函数xf 以下由琴生不等式立得8已知正实数 （ ， ， ）满足 ia12n1nia第 12 页 共 16 页求证： nniiia11证明：考查函数 ， 因 ，xfl1,00125xf故该函数为凸函数而 （ ， ， ） ，所以10iai2n （ ） nannii
14、iii 1lll 111 1nia去掉对数符号立得4设 ，实数 ， 都不为零，且 则021nxx pqtqp（1）若 ， 同号，则 ；pq niqniit x111（2）若 ， 异号，则 niqnipnitx111证明：当 ， 同号时，两者都是正数，由不等式单调性得pq， ，由切比雪夫不等式得（1）成立；npxx21 qnqx21当 ， 异号时，假设 ， ，由不等式单调性得0p， ，由切比雪夫不等式得（2）成立；pnpxx21 qnqx215设 、 、 为某一三角形三边长，求证：abcabcca3222 证明：不妨设 ，易证 由排cba序原理得第 13 页 共 16 页cbacba222 ab
15、c36设 ， 求证：nxx21 nyy21iiiniii z112其中 ， ， 是 ， ， 的任意一个排列1z2nzy2ny证明：要证 ，只要证niiiiii zxx121只要证 niiniiiniiniii zxyyx 112112niini z11由题设及排序原理上式显然成立7在 中求证：ABC（1） ；62sin1i2sin（2） ；3cotcot证明：（1）考查函数 ，其在 上为凸函数；xysin12,0（2）考查函数 ，在 上是凸函数证明如下：2cotlxf,即证 112xfff第 14 页 共 16 页2cotlntl121 xxff 2cotl1x2coscsln121xx 2c
16、os1l1x证毕4otl2211f8设 ， ， ， 那么ix0in（1） ；niniix11s（2） niniix11证明：（1）考查函数 ，其在 上为凸函数xfs,0（2）考查函数 ，其在 上为凸函数证明如下：xfinl令 ， ，则1x,02sin2121coscosxx212xin将上述不等式两端取自然对数，得，2sinlsilnil 121 xx即2sinl2silil 121 xx第 15 页 共 16 页故函数 在 上为凸函数xfsinl,0由琴生不等式ninii xx11sll故ninii xx11s4平均值不等式设 ，对于 ，则12,naR nN21212nnaaa 12na其中等号当且仅当 时成立。12n以下为阅读材料5贝努利不等式（1）设 ，且同号，则 （2）设 ，则（）当 时，有 ；（）当 或 时，有 ，上两式当且仅当 时等号成立。不等式（1）的一个重要特例是（ ）第 16 页 共 16 页6艾尔多斯莫迪尔不等式设 P 为 内部或边界上一点，P 到三边距离分别为 PD，PE，PF，则，当且仅当 为正三角形，且 P 为三角形中心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。7幂平均不等式8权方和不等式
