1、2.11 有理数的乘方1有理数乘方的概念(1)乘方的意义：一般地， n 个相同的因数 a 相乘： ，记作 an，即 an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂在 an中， a 叫做底数， n 叫做 指数， an读作 a 的 n 次方(或 a 的 n 次幂)(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果如 25中，2 5可以看成一种运算，表示有 5 个 2 相乘，即 2522222，这时，25应读作 2 的
2、五次方；另一方面，2 5又可看成 5 个 2 相乘的结果，即222222 5，这时 25却读作 2 的 5 次幂；注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性如(3)(3)(3)(3)应记作(3)4，不能记作3 4.(3) 4与3 4表示的意义和结果完全不同前者表示 4 个3 相乘，结果为 81；后者为 4 个 3 相乘的积的相反数，结果为81.再如 应记作 6，54 54 54 54 54 54 (54)不能记作 ；564一个数可以看成这个数本身的一次方，如 3 就是 31， a 就是 a1，只是指数 1
3、通常省略不写； an与 an的区别：. an表示 n 个 a 相乘，底数是 a，指数是 n，读作： a 的 n 次方. an表示 n 个 a 乘积的相反数，底数是 a，指数是 n，读作： a 的 n 次方的相反数如：(3) 3底数是3，指数是 3，读作3 的 3 次方，表示 3 个3 相乘，(3)3(3)(3)(3)27.3 3底数是 3，指数是 3，读作 3 的 3 次方的相反数3 3(333)27.所以(3) 3与3 3的结果虽然都是27，但表示的含义并不同注意乘方运算的转化计算乘方运算的结果时，应将乘方 运算转化为乘法运算来完成如计算(5) 3时，应将它转化为计算(5)(5)(5)的积；
4、再如计算 4时，应(12)将它转化为计算 的积12 12 12 12【例 1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？(1)(8.3) (8.3)(8.3)(8.3)(8.3)；(2) ；25 25 25 25(3)aaaa(2 011 个 a)分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角解：(1)(8.3)(8.3)(8.3)(8.3)(8.3)(8.3) 5；(2) 4；25 25 25 25 (25)(3)aaaa(2 011 个 a) a2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式
5、时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题2乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0 的任何次幂等于 0；1 的任何次幂等于 1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：0 的任何正整数次幂都是 0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相反数如 0n0( n 是正整数)；(4) 64 6；(4) 34 3.进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意( a)2n a2n，( a)2n1 a2n1 (n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道 ： a2n0，即任何有理数的
6、偶次幂是非负数谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶【例 2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算：(1)(3) 2；(2)1.5 3；(3) 4；(4)(1) 11；(43)(5)(1) 2；(6)(1) 2n；(7)(1) 2n1 .分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负解：(1)(3) 2339；(2)1.531.51.51.53.375；(3) 4 ；(43) 43 43 43 43 25681(4)(1) 111；(5)(1)
7、21；(6)(1) 2n1；(7)(1) 2n1 1.3有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值有理数的乘方是一种特殊的乘法运算因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果例如计算(5) 3，先确定幂的符号为“”号，再计算 53125，即( 5)3125；再如，计算(2)3 2时，先算 329，再算(2)918.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指
8、数，以及符号问题，避免出错【例 31】 计算：(1)3 3；(2)(2) 2；(3)(32) 3；(4)(2) 3.分析：运算 时，先确定符号，再 计算乘方(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数326，再计算(6) 3；(4)先计算(2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数解：(1)3 3(333)27；(2)(2) 24；(3)(32) 3(6) 3216；(4)(2) 3(8)8.警误区 勿把底数乘指数 在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误如3 3(33)9，这是由于没有理解乘方的意义导致的【例 32】 计
9、算(0.25) 10412的值分析：直接求(0.25) 10和 412比较麻烦，但仔细观察可以发现(0.25) 100.25 10，表示 10 个 0.25 相乘，而 412表示 12 个 4 相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果解：(0.25) 10412(0.25) 10412(0.25) 1041042(0.254) 104211616.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约 3 米，一
10、张纸的厚度只有 0.1 毫米，0.1 毫米与 3 米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折 20 次后，其厚度将比 30 层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律【例 4】 “兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更 是络绎不绝张师傅先是用一根直径约 13 厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把
11、两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了 10 次，在他手里出现了一根根直径约 0.1 毫米的细面条算一算：张师傅拉 10 次共拉出了多少根细面条？若拉 n 次呢？(请把探索的结果填入下表中)次数 1 2 3 4 5 6 10 n面条根数分析：第一次拉出 212 根，第二次拉出 224 根，第三次拉出 238 根，所以第 n 次拉出 2n根解：拉 面的根数与拉面的次数 n 有关系，拉面的根数2 n.次数 1 2 3 4 5 6 10 n面条根数 2 4 8 16 32 64 210 2n5与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思
12、路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决 问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如 3n的个位数字是 3,9,7,1,3,9,7,1，依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用 2n或 n求解(12)【例 51】 有一张厚度是 0.1 毫米的纸，将它对折 1 次后，厚度为 20.1 毫米(1)对折
13、 2 次后，厚度为多少毫 米？(2)对折 20 次后，厚度为多少毫米？分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系根据问题容易得到当对折两次后厚度为 40.12 20.1 毫米，对折 3 次后厚度变为 80.12 30.1 毫米，对折 4 次是 160.12 40.1 毫米，对折 5 次是 320.12 50.1 毫米，从中探寻规律，解答问题解：(1)0.12 20.4(毫米)(2)(2200.1)毫米【例 52】 1 米长的小棒，第 1 次截去一半，第 2 次截去剩下的一半，如此截下去，第 7 次后剩下的小棒有多少米长？分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系解：第 7 次后剩下的小棒有 71 (米)(12) 1128
