1、第十三章13.5 因式分解教案【同步教育信息】一. 本周教学内容因式分解学习要求1. 认识提公因式法和公式法，能准确地将某些多项式用提公因式法或公式法分解。2. 从本质上区别因式分解与整式乘法。学习重点1. 提公因式法中公因式的寻找方法；2. 怎样间接利用公式进行 因式分解。学习难点怎样用因式分解解决方程问题。学习内容（一）简单方法介绍：概念：把一个多项式化成几个整式的乘积形式，这就是因式分解。实际上，它正好与整式的乘法相反，它们互为逆运算。例如： )cba(mcba)(22aa22)b(多项式 ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 m，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb
2、+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公 因式法。222222 )ba(a)a(a bb它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因 式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。（二）典型例题例 1. 把下列多项式分解因式：ab93)2(a25)1( 2y4x4y6x3 解： )5a(25a)1(（2） )b3a(9a32)y4x5)(y4x5y16x5)( 22 2244例 2. 把下列多项式分解因式：23323 xy1)(xyyx)1( 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为 1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。解： )4x(4)( 22323 2)
3、y()4x(3y12x3)( 2)y(例 3. 对下列多项式进行因式分解：1m94)2()xy(b2)x(a4)1322 y)x863分析：（1）题中(y-x) 3=-(x-y)3=-(x-y)3，所以这两项中都有 2(x-y)2，可先提取公因式。（2）题观察“1” ，1=1 2，故可用平方差公式分解。（3）题利用加法交换律得 x2+8xy+16y2，符合完全平方公式。（4）题将多项式展开为 4xy-4x2-y2=-4x2+4xy-y2=-（4x 2-4xy+y2）符合完全平方公式，可用公式分解。解： 332 )yx(b)(a4)y(b)x(a)1 )2()yx1m32(1)m32(94)2(
4、 2)4(68xy16x3222 )yx(yxy4)(4) 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理；（2）首项为“”时可考虑用添括号法则使其 变为“” ；（3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。（4）在分解因式时，首先看是否有公因式。例 4. 将下列多项式进行因式分解：2222326 )ba(4)3(aba1)(x1)( 分析：（1）题可先提公因式，再用公式分解。（2）题也可先提公因式 后再用完全平方公式。（3）题先用平方差公式后用完全平方公式。解： 1)x4()1x6(x16)( 2242 )x4()(22223 ba1b4a(
5、1aba21)( )ba2)(2()(b4 222)(ba说明：（1）分解因式的步骤：一提（提取公因式） ，二套（套用公式） ，三继续（直至各因式都不能再分为止） 。（2）多项式系数为分数或小数时也可考虑提取一个适当系数使其变为整数使计算方便。例 5. 将下列多项式进行因式分解：23)xy(10)x(532abab89)(6)(3分析：（1）中 x-y 与 y-x 互为相反数，利用添括号法则可使其变为相同因式，于是可以有公因式 5(x-y)2。（2）考虑(a-b) 2=(b-a)2，故两项中有公因式 6(b-a)2。（3）中将(a+b)看作 x，则原式变为 x2-6x+9。解： )2yx()5
6、)y(5)y(10)(5 23 3232 ba1)a(b8ba18)()5()(62222 3)ba()(9)ba(6)(3 2)3(说明：在分解因式时，某些多项式可作为一个整体看作单独的一项，从而化繁为简，易于分解。例 6. 把下列各多项式分解因式：22)adbc()ac(1x8y5yx)1(4)(32分析：（1）题不符合公式，因而首先应该将两个括号打开。（2）题也不符合公式，也无公因式可提，因而将括号打开。（3）题初看不符合公式，但是调整后可用公式法分解因式。解： 22222 dabcdbac)adbc()ac( )dc)(ba( )a22222xy854xy)x8y5()2(yx)2(
7、222)yx(48)()1xy(4)x(322说明：有的题目可能无法直接分解，需要对原多项式进行变形，变形后才可用公式或提公因式的方法分解。例 7. 已知：a+b+c=11，求 2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ac 的值。解： bcacba)cba(2 22 )(4故1ca又2故 原 式例 8. 已知 m+n=9，mn=14，求 m2-mn+n2的值。解： n3nm22 3914)(2例 9. 已知 a2+b2+2a-4b+5=0，求 a、b。解： 4b25b2)()1(0)()1a(22故 可 知是 非 负 数和又 b21a02a得得例 10. 求满足方程 4x2-9y2=31 的
8、正整数解。解： 31y9x4因 为)(223这里 x、y 为正整数，而 31 为质数，故仅有31yx2)(132)(或)4(yx)(或5y8x)4()3(5y8x)2()1( ；分 别 解 之 可 得 ：yx均 为 正 整 数 ， 故 只 得、又例 11. 若 a、b、c 为ABC 的三边长，判断代数式( a2+b2-c2)2-4a2b2的值是正数，还是负数。解： 2222 ()cba4)( c)ba(c)ba( )ab2222因为 a、b、c 为三角形三边长，故可知)(|)1(0c)ba(c:)( 22可 知由)ba(2可 知由cc22故a4)a(代 数 式 是负数本课小结1. 本课主要学习
9、因式分解的两种方法及其综合使用两种方法分解因式，在进行分解时一定按照因式分解的三个步骤来进行。2. 运用因式分解可解一些相关的简单文字应用题，在做题时，首先考虑将其中可分 解的多项式分解因式，然后根据各因式特点进行解题。【模拟试题】 1. 将下列各多项式分解因式：（1） 2mn36（2） 22yx69（3） by6ax4a2（4） a18a（5） 2y3（6） )x(c)(b2)(3（7） n1n250 （8） a（9） 2)yx(9)3(x（10） 22)ca(16)c(1（11） 2cab1a4（12） 2yx4x2. 若多项式 kx62可以分解为 )(之积，试求 k 值。3. 已知 2)
10、y()12，求 xy2的值。4. 若 0b6a22，求 b3a的值。5. 已知正整数 a、b 满足 152，求 a、b 的值。6. 已知 8yx满足 562yxyx，求 2yx的值。7. 若 1z3，求 zz2的值。【试题答案】1. 因式分解：（1） )n42(m32（2） 2)yx3(（3）原式 )by6x(ay3x)2(（4）原式 y9x6a22)y3x(a（5）原式 )3(2（6）原式 )cb2a(1cba)1（7）原式 )x56(n1n（8）原式 a3)（9）原式 22)yx(y1(x)32)(34(1yxyx（10）原式 2cba4cba9)135)(13( )cba(4)(9（11
11、）原式 22caa42)c3b(（12）原式 2xy(x222)()2. 解： 8x6)4x(而 k622故 83. 解：因 2)yx()12得 x22y 而 222 )yx(1)yx(1故 2yx24. 解：由 01b6a2知 )9()1(2得 3a2而 0)(2， 0)b(知 1，a， 3故 895. 解： 5b2知： 35)ba(又 a、b 为正整数，故 为正整数， 为正整数，且 ba得 3 146. 解： 56yxy2得 )()(x1而 8y知 x又 802xy)(22 7. 解： )xz2yz2yx(1zzy )xz()y()x(21222又 1z2y3x得 z故原式 3)41(2)(22
