1、教学难点：运用勾股定理解决实际问题教学过程：一。探索勾股定理试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺 直角边 a 直角边 b 斜边 c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度 a、 b、 c 之间的关系由图 14.1.1 得出等腰直角三角形的三边关系图 14.1.1 是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形 P、 Q 的面积之和等于大正方形 R 的面积即AC ，222图 14.1.1这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图 14
2、.1.2，如果每一小方格表示 1 平方厘米，那么可以得到：正方形 P 的面积 平方厘米；正方形 Q 的面积 平方厘米；（每一小方格表示 1 平方厘米）图 14.1.2正方形 R 的面积 平方厘米我们发现，正方形 P、 Q、 R 的面积之间的关系是 由此，我们得出直角三角形的三边的长度之间存在关系 由图 14.1.2 得出一般直角三角形的三边关系.若C=90,则 22cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABC 中， C=90 , 则 (a、b 表示两直角边，c 表示斜边)22a变式： 2cbca2介绍勾股定理的历史背景。二例题分析：例 1.RtABC 中， AB=c, BC=
3、a,AC=b,B=90（1 ） 已知 a=8,b=10,求 c. (c=6)（2 ） 已知 a=5,c=12,求 b (b=13)注意：“B 为直角”这个条件。三、引申提高：例 2 如图 14.1.4，将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上，长为 2.16 米，求梯子上端 A到墙的底边的垂直距离 （精确到 0.01 米）解 如图 14.1.4，在 Rt中， .米， .米， 根据勾股定理可得 .（米） AC22 22 .答： 梯子上端 A 到墙的底边的垂直距离 约为 4.96 米四巩固练习： 书本 P46 第 1、2 题五课时小结：1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平
4、方2、已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。六作业布置1、 A 组： （1） 课本第 49 页习题 14.1 第 1、2 题；（2）同步练习册第 45 页 基本训练第 15 题。2、 B 组：同步练习册第 46 页 基本训练第 68 题。3、 C 组： 同步练习册第 46 页 探索天地第 911 题七、教学反思14.1.1 直角三角形三边的关系（2）教学目标：1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。2会应用勾股定理解决实际问题教学重点：利用勾股定理解决实际问题教学难点：构造直角三角形求解。教学过程：一、复习引入：1
5、. 勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为 1 和 2，求第三边。二、体验勾股定理的几种探求方法：试一试剪四个与图 14.1.5 完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图 14.1.6 所示的图形大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论图 14.1.5 图 14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图 14.1.7 所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的由下面几种拼图方法，试一试，能否得出 的结论。22cba（1 ） （2 ） （3） （4） （5）探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图（
6、1） ， （2） ， （3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出 。2cba2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到 。22cba3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得 。22cba三应用：例 1. 如图,为了求出湖两岸的 AB 两点之间的距离，一个观测者在点 C 设桩，使ABC恰好为 Rt，通过测量，得到 AC 长 160 米，BC 长 128 米，问从 A 点穿过湖到点 B 有多远？cbacb acbac bacba解：Rt ABC 中，AC=100，BC=128，根据勾股定理得: (米)AB961286022
7、 BC答：从 A 点穿过湖到点 B 有 96 米。说明：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形。若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理。例 2 .在一棵树的 10 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设 .米米米 ， 则 )30(,201xBCACDxBRtABC 中， 22)(x解 之 得 ： .5 )(10米树 高 四引申提高：例 3有一个棱长为 1 米且封闭的正方形盒子（如图） ，一只蚂蚁从顶点 A 向顶点 B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？分析：最短路
8、程为展开图中的 米521AB五、小结：1.说明勾股定理成立时要有一定的拼图能力。2.构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解。六作业布置1、 A 组： 课本第 49-50 页习题 14.1 第 3、4、5 题；2、 B 组：同步练习试卷。CBABABA七、教学反思14.1.2 直角三角形的判定教学目标：1.掌握直角三角形的判别条件。2.熟记一些勾股数。能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。教学重点 ：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。教学难点 ：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识
9、解题。教学过程：一 .复习引入：1、 复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质。2、 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、讲述新课：1、 古代埃及人作直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第 4 个结处。他们真的能够得到直角三角形吗？2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c：5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17。（1 ）这三组数都满足
10、 吗？22a（2 ）分别以这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3、从做一做中，你能猜想到什么结论？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形.22abc例 1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1 ） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3 ） 13， 11， 9解 因为 25 ，2 ，22 ，2所以根据前面的判定方法可知，以（1） 、 （2 ）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3 ）的数为边长的三角形不是直角三角形4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称
11、为勾股数（或勾股弦数） 。请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。练习：在一根长为 180 个单位的绳子上，分别标出 A，B ，C， D 四个点，它们将绳子分为长为 60 个单位、45 个单位和 75个单位的三段线段。自己握住绳子的两个端点（A 点和 D 点） ，两名同伴分别握住 B 点和 C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？记住常用的勾股数能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，3 2+42=52 3、4、5 是一组勾股数同理 6、8 、10 是一组勾股数，5、12、13 也是一组勾股数；此外，还可用下面的方法产生无数组勾股数：由例 2a=n2-1 b=2n c=n2
12、+1n=2 a=3 b=4 c=5n=3 a=8 b=6 c=10n=4 a=15 b=8 c=17 三、随堂练习：1、P54 练习 1.2 题四、小结：（1 ）只要有两边的平方和等到于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形，简记为：a2+b2=c2C=90 0（1 ） 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较；（2 ） 常用的勾股数有 3、 4、5、 ；6 、8、10；5、12、13 等。（3 ） 判定一个直角三角形，我们除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用今天的勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的
13、应用；（4 ） 在定理中出现的 a、b、c 并不是固定的，要理解其实质；五作业布置1、 A 组： （1） 课本第 50 页习题 14.1 第 6 题；（2）同步练习册第 47 页 基本训练第 16 题。2、 B 组：同步练习册第 47 页 基本训练第 710 题。3、 C 组： 同步练习册第 46 页 探索天地第 1112 题六、教学反思14.2 勾股定理的应用（一）一、教学目标1、会用勾股定理解决简单的实际问题。2、树立数形结合的思想。二、重点、难点1、重点：勾股定理的应用。2、难点：实际问题向数学问题的转化。3、难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实
14、际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用三.举例例 1 如图 14.2.1，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程图 14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图 14.2.2） ，得到矩形 D ，根据“两点之间
15、，线段最短” ，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线 AC 之长 （精确到. cm）图 14.2.2解 如图 14.2.2，在 Rt中，底面周长的一半cm， AC 2BCA2104229（cm） （勾股定理） 答： 最短路程约为cm例 2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图 14.2.3 的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图 14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图.所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于H解 在 RtOCD 中，由勾股定理得 .米，2O
16、C2801C.（米）.（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门四.随堂练习： P53 练习 1.2 题五作业布置1、 A 组： （1） 课本第 54 页习题 14.2 第 1-3 题；（2）同步练习册第 49 页 基本训练第 14 题。2、 B 组：同步练习册第 50 页 基本训练第 57 题。3、 C 组： 同步练习册第 50 页 探索天地第 8 题六、教学反思14.2 勾股定理的应用（二）一、教学目标1、会用勾股定理解决较综合的问题。2、树立数形结合的思想。二、重点、难点1、重点：勾股定理的综合应用。2、难点：勾股定理的综合应用。教学过程：一.举例例 3 如图 14.2.
17、5，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1 ） 从点 A 出发画一条线段，使它的另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 22；（2 ） 画出所有的以（1）中的为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求图 14.2.5 图 14.2.6解（1） 图 14.2.6 中长度为 22（2 ） 图 14.2.6 中、 D 就是所要画的等腰三角形例 4 如图 14.2.7，已知 CDm， ADm， ADC， BCm， m求图中阴影部分的面积图 14.2.7解 在 RtADC 中，
18、AC （勾股定理） ，2222 ACm ，22222 ACB 为直角三角形（如果三角形的三边长 a、 b、 c 有关系： a b c ，那么这22个三角形是直角三角形） ， S 阴影部分ACB ACD1/2 1/2 （m ） 2二、随堂练习：课本 54 练习 1、2 题三、作业布置1、 A 组： （1） 课本第 54 页习题 14.1 第 4-6 题；（2）同步练习册第 51 页 基本训练第 14 题。2、 B 组：同步练习册第 52 页 基本训练第 56 题。3、 C 组： 同步练习册第 52 页 探索天地第 78 题四、教学反思第 14 章 勾股定理 小结与复习教学目标知识与技能：掌握直角
19、三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值重点、难点、关键重点：熟练运用勾股定理及其逆定理难点：正确运用勾股定理及其逆定理关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来教学准备教师准备：投影仪，补充资料学生准备：写一份单元复习小结教学设计教学过程一、回顾与交流1重点精析勾股定理，RtABC 中，C=90，a 2+b2=c2应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角
20、三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长2例题精讲例 在 RtABC 中，已知两直角边 a 与 b 的和为 p 厘米，斜边长为 q 厘米，求这个三角形的面积教师分析：因为 Rt的面积等于 ab，所以只要求出 ab 就可以完成本道题 分析已12知条件可知 a+b=p，c=q，再联想到勾股定理 a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由 a+b=p，a 2+b2=q2，求出 ab解：a+b=p，c=q，a 2+2ab+b2=（a+b） 2=p2a2+b2=q2（勾股定理）2ab=p 2-q2S RtABC = ab=（ p2-q2） （厘米 2）14学生活动：参与教师讲例
21、，理解勾股定理的运用，提出自己的见解媒体使用：投影显示例题教学形式：师生互动3课堂演练演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案 51 厘米演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，则该河流的宽为多少 m思路点拨：应用 RtABC 中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出 AB参考答案：480m演练三，在 RtABC 中，a=3 ，c=5，求 b思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把 c 当作斜边，只求 b=4，但本道题以b 当作斜边也是可以的，因此应注
22、意两解问题参考答案：b=或 34演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长 4 米，池中央长了一棵芦苇，露出水面 1 米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐， 你能算出水池的深度吗？思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数， 然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为 x 米，BC=x 米，AC=（x+1）米，因为池边长为 4 米，所以 BA=2 米，在 RtA BC 中，根据勾股定理，得 x2+22=（x+1） 2 解得 x=1.54难点精析勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是
23、直角三角形的步骤：（1）先确定最大边（如 c） ；（2）验证 c2 与 a2+b2 是否相等，若 c2=a2+b2，则C=90 ；若 c2a 2+b2，则ABC 不是直角三角形此时情况有两种：（1）当 a2+b2c2 时，三角形为锐角三角形；（2）当 a2+b2c2 时，三角形为钝角三角形5范例精讲例 如图所示，ABC 中， AB=26，BC=20，BC 边上的中线 AD=24，求 AC教师分析：要求 AC 的长度，首先确定 AC 所在的ACD ，而关键是要判断出ADC 是直角三角形，由于 AB=26，BC=20，可得 BD=10，而又知中线 AD=24， 所以可以先通过勾股定理判断出ABD
24、是 Rt，这样就可以得到ADC=90 ， 从而再应用勾股定理求出 AC的长解：因为 AD 是边 BC 上的中线，且 BC=20，所以 BD=DC= BC=1012因为 AD2+BD2=576+100=676，AB2=262=676，AD2+BD2=AB2所以ADB=90 ，即 ADBC （勾股逆定理）在 RtADC 中AC= =26（勾股定理）22410ADC评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到 AD 垂直平分 BC，所以 AC=AB=266课堂演练演练一：在数轴上作表示- 的点5思路点拨：在数轴上的点-2 位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为 1，连接原点到这
25、条线段的端点 A，以 O（原点）为圆心， OA 为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-演练二：下列三角形（如图 14-3-5 所示）是直角三角形吗？为什么？思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；15 2=？；6 2+42=？；7 2=？演练三：设ABC 的 3 条边长分别是 a，b，c，且 a=n2-1，b=2n，c=n 2+1（1）填表：n a b c a2+b2 c2 ABC 是不是直角三角形2 3 4 5 25 253456 （2）当 n 取大于 1 的整数时，以表中各组 a，b，c 的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？（3）3 、4、5 是一组勾股数
26、，如果将这 3 个数分别扩大 2 倍，所得 3个数还是勾股数吗？扩大 3 倍、4 倍和 n 倍呢？为什么？（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？演练四：如图所示，古代建筑师把 12 段同样长的绳子相互连成环状， 把从点 B 到点 C 之间的 5 段绳子拉直，然后在点 A 将绳子拉紧，便形成直角， 工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用媒体使用：投影显示“演练题” 教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知
27、识，构建知识系的目的二、构筑知识系A.B.三、随堂练习课本 P56 复习题第 4，7，10，11 题四、布置作业课本 P56-57 复习题第 1，3，6 ，8，9 ，12 题五、教学反思全章测试题一、填空题1在ABC 中，C=90（1）已知 a=24，b=32，则 c=_（2）已知 c=17，b=15，则ABC 面积等于_（3）已知A=45，c=18，则 a2=_2直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_ 3ABC 的周长为 40cm，C=90，BC ：AC=15： 8，则它的斜边长为_ 4直角三角形的两直角边之和为 14，斜边为 10，则它的斜边上的高为_ ， 两直角边分别为_二、
28、选择题5在下列说法中是错误的（ ） A在ABC 中，C=A- B，则ABC 为直角三角形B在ABC 中，若 A：B：C=5：2：3 ，则ABC 为直角三角形C在ABC 中，若 a= c，b= c，则ABC 为 Rt54D在ABC 中，若 a：b：c=2：2：4 ，则ABC 为直角三角形6直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm ，其中斜边上的高为（ ） A6cm B5cm C cm3060.113cmD7下列线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=6 ，b=8，c=10 Ba=1，b=2，c=6Ca= ，b=1，c= Da=2 ，b=3 ，c=543138有四个三角形：（1）ABC 的三边
29、之比为 3：4 ：5；（2）A BC的三边之比为 5：12：13；（3）A BC的三个内角之比为 1：2 ：3；（4）CDE 的三个内角之比为 1：1 ：2，其中直角三角形的有（ ） A （1） （2） B （1） （2） （3 ） C （1） （2） （4） D （1 ） （2） （3） （4 ）三、解答题9如果 3 条线段的长 a，b，c 满足 c2=a2-b2，那么这 3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？10如图所示，ADBC，垂足为 D，如果 CD=1，AD=2 ，BD=4，那么BAC 是直角吗？请说明理由11在图中，BC 长为 3 厘米，AB 长为 4 厘米，AF 长为 12
30、 厘米，求正方形 CDEF的面积12如图所示，为得到湖两岸 A 点和 B 点间的距离，一个观测者在 C 点设桩， 使ABC 为直角三角形，并测得 AC 长 20 米，BC 长 16 米，A、B 两点间距离是多少？四、探究题13如图所示，在一块正方形 ABCD的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在 CD 边上找出中点 F，在 BC 边上找出点 E，使 EC= BC， 然后沿着14AF、EF、 AE 裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由14如图所示，长方形纸片 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，将其折叠， 使点 D 与
31、点 B 重合求：（1）折叠后 DE 的长；（2）以折痕 EF 为边的正方形面积CDCBAFEDCBA答案:一、1 （1 ）4 （2）60 （3 ）162 26 8 10 317cm 44.8 6 和 8 二、5B 6 D 7B 8D 三、9是直角三角形 10利用勾肌定理 11169 厘米 2 1212 米 四、13 方案正确，理由: 裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为 4a，则 DF=FC=2a，EC=a在 RtADF 中，由勾股定理，得 AF2=AD2+DF2=（4a） 2+（2a） 2=20a2；在 Rt ECF 中， EF2=（2a） 2+a2=5a2；在 Rt ABE 中，AE 2=AB2+BE2=（4a） 2+（3a） 2=25a2AE 2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得AFE=90，AFE 是直角三角形14提示：设 DE 长为 xcm，则 AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在 RtABE 中，A=90，x 2-（9-x） 2=32，故（x+9-x） （x-9+x）=9，即 2x=10，那么 x=5，即 DE 长为 5cm，连 BD 即 BD 与 EF互相垂直平分，即可求得： EF2=12cm2，以 EF 为边的正方形面积为 144cm2
