1、24.1 圆的有关性质(第 4 课时)一、内容和内容解析1内容圆周角概念，圆周角定理及其推论2内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角定理(即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算及证明角、弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，既是圆心角、弧、弦之间的关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带圆周角定理的证明，采用完全归纳法通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论
2、和化一般为特殊的化归思想基于以上分析，确定本节课的教学重点：圆周角定理二、目标和目标解析1目标(1)了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论(2)结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法2目标解析达成目标(1)的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理或推论解决简单问题达成目标(2)的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关
3、系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理三、教学问题诊断分析对于圆周角定理的证明，因为圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部，所以证明要采用完全归纳法、分情况证明学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏对此，教学的关键是：在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面
4、证明中的分类讨论作好铺垫学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想它们之间的数量关系，然后教师再利用计算机软件度量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半从特殊的位置关系圆心在圆周角的一边上的情形入手，先证明猜想，再将其它两种情形转化为圆心在圆周角的一边上的情形本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理四、教学过程设计1了解圆周角的概念问题 1 如图 1，图中ABC 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：ABC 的顶点在O 上，角的两边分别交 O 于 A，B 两点教师进而指
5、出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角圆周角与圆心角都是与圆有关的角设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念练习 教科书第 88 页练习第 1 题师生活动：学生思考并回答问题设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例的练习，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解2探索圆周角定理问题 2 图 2 中，ACB 是圆周角，作出 AB 所对的圆心角AOB ， 分别测量ACB和AOB 的度数，它们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接 OA，OB ，得到圆心角AOB教师指出 ACB 和AOB 都对着弧 AB，提出问题：图中ACB 和AOB 有怎样的
6、关系？学生通过观察、度量、猜想图 1图 2ACB AOB即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半12追问：在O 上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图，度量并验证猜想外，教师也可以利用几何画板软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动； 改变弧的大小；改变圆的大小后，分别进行和的演示引导学生发现，在演示过程中，ACB 和AOB 度数的比值保持不变设计意图：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
7、一半教师使用几何画板做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系3证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？追问 1：在圆上任取弧 BC，画出圆心角 ACB 和圆周角AOB，圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续同时进一步明确证明的必
8、要性和证明的方法追问 2：在第种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？(1) (2) (3)图 3师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到：第种情况属于特殊情况，另外两种情况比种情况复杂研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其它情况能否转化成特殊情况师生结合图 3(1)，分析第种情况，得到OAOCACBOCAC教师指出：符号“AB”表示由条件 A 推出 B，可以用“”方式给出推理过程设计意图：从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的学习，又为其他两种情况的证明提供了转化的方向追问 3：在第种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试
9、解决如果学生有困难，教师可引导学生：能否将第种情况转化成第种情况根据学生的情况，师生共同完成第种情况的证明证明：如图 3(2)，连接 AO 并延长交 O 于点 DOAOBBADBBOD BADB同理，CAD COD21BACBADCAD BO D COD BOC2121学生独立完成第种情况的证明从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升4探究特殊情况，获得推论问题 4 我们知道，一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆
10、周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧 BC 所对的几个圆周角和圆心角 (图 4)，先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等进而思考同弧或等弧的情况如果学生遇到困难，教师可根据情况适当提醒学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的A BOC21BAD BOD 21图 4关系，通过弧相等得到结论设计意图：学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系问题 5 半圆(或直径)所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧 AB 所对的几个圆周角和圆心角(图 5)，先观察、猜想，根据定理得到结论：半圆(或直径)所对的圆
11、周角是直角教师进一步引导学生得出：90 的圆周角所对的弦是直径设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论5应用圆周角定理与推论例 6 如图 6，O 的直径 AB 的长为 10 cm，弦 AC 长为 6 cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC，AD，BD 的长图 6 图 7师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路：如图 7，欲求 BC 的长度，由BC 所在的ABC 中，AB 和 AC 的长已知，AB 为O 的直径，可知ACB90，在 RtABC 中，由勾股定理可求 BC 的长由 CD 平分ACB 得 ACDBCD，连接 OD，可得AOD BOD90 ，进而 由勾
12、股定理可求 AD，BD 的 长学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流设计意图：应用圆周角定理及推论解决问题，巩固所学的内容6小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？图 5设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于学生体会数学思想、数学方法，积累数学活动的经验7布置作业教科书第 88 页练习第 2，3，4 题五、目标检测设计1如图 8，点 A，B，C 都在O 上，连接 AB，BC，AC，OA，OB，BAO20 ，则ACB 的大小是_ 设计意图：考查学生对同弧所对的圆周角与圆心角之间关系的掌握图 8 图 92如图 9，点 A，B，C，D 都在O 上，O ABC ，CDA25 ，则AOB 的度数为 设计意图：考查学生对等弧所对的圆周角与圆心角之间关系的掌握3如图 10，AB 是O 的直径，点 C，D ，E 都在O 上，则 12 设计意图：综合学生考查对圆周角定理及其推论的掌握图 10 图 114如图 11，点 A，B，C 为O 上的三个点，AOB BOC，BAC45求13ACB 的度数设计意图：考查学生对圆周角定理的运用
