高三数学专题复习概率.doc

1、用心 爱心 专心 117 号编辑 1高三数学专题复习概率【复习要点】本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化.主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.【例题】【例 1】 已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.8（1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率；（2）如果两人比赛，各投篮 2 次，求甲战胜乙的概率解：设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记

2、为事件 ，则 为独立事件BA、（1） 94.0)81(7.0)(1)(1)( BPABPA或 8.（2）甲战胜乙有 1 比 0、2 比 0、2 比 1 三种情形，1932.08.73.722 CCP【例 2】 排球比赛的规则是 5 局 3 胜制， A、 B 两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为 和 .（1）前 2 局中 B 队以 2:0 领先，求最后 A、 B 队各自获胜的概率；3（2） B 队以 3:2 获胜的概率解：（1）设最后 A 获胜的概率为 设最后 B 获胜的概率为1,P2.P328();7PC2 21199.()37或（2）设 B 队以 3:2 获胜的概率为 .P33248(C【例

3、 3】 如图，用 A、 B、 C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、 N2，当元件 A、 B、 C都正常工作时，系统 N1正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、 C 至少有一个正常工作时，系统 N2正常工作.已知元件 A、 B、 C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90，分别求系统N1， N2正常工作的概率 P1、 P2.解：记元件 A、 B、 C 正常工作的事件分别为 A、 B、 C，由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.用心 爱心 专心 117 号编辑 2(1)因为事件 A、 B、 C 是相互独立的，所以，系统 N1正常工作的概率P1

4、=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1正常工作的概率为 0.648(2)系统 N2正常工作的概率 P2=P(A)1 P( )CB=P(A)1 P( )P( )=0.801(10.90)(10.90)=0.792故系统 N2正常工作的概率为 0.792【例 4】 有 A、B 两个箱子，A 箱中有 6 张相同的卡片，其中一张写有 0，两张写有1，三张写有 2；B 箱中有 7 张相同的卡片，其中四张写有 0，一张写有 1，两张写有 2，现从 A 箱中任取 1 张，从 B 箱中任取 2 张，共 3 张卡片。求：（1）3 张卡片都写有 0 的概率；（2）3 张卡片中数字之积为

5、 0 的概率。解：（1） 21674C（2） 42375273427【例 5】 袋里装有 35 个球，每个球上都标有从 1 到 35 的一个号码，设号码 n 的球重（克） 这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出1532n（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率解：（1）由不等式 得 n15， n3，n1532由题意知 n1，2，或 n16，17，35于是所求概率为 52（2）设第 n 号与第 m 号的两个球的重量相等，其中 n m，则有 ，1531532所以 ，0)()(2nn因为 n m，所以 n m15， （ n， m）（

6、1，14） ， （2，13） ，（7，8） ，但从 35 个球中任取两个的方法数为 ，5934C235故所求概率为 85197【例 6】 已知：有 6 个房间安排 4 个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（）事件 A：指定的 4 个房间各有 1 人；（）事件 B：用心 爱心 专心 117 号编辑 3恰有 4 个房间各有 1 人；（）事件 C：指定的某个房间有 2 人。解：由于每人可进住任 1 房间，进住哪间房是等可能的，每人都有 6 种等可能的方法，根据乘法原理，4 人进住 6 个房间共有 64种方法 （1）指定的 4 个房间各有 1 人，有 种方法，

7、 A5416)(AP（2）从 6 间中选出 4 间有 种方法，4 个人每人去 1 间有 种方法，6C185)(4ACBP（3）从 4 人中选 2 个人去指定的某个房间，共有 种选法，余下 2 人每人都可去 5 个房间24C中的任 1 间,因而有 52种种方法。16)(42CP【例 7】 一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是 m（0m1 如图，有如)下三种联接方法： （1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.解：（1）三种电路各自接通分别记为事件 A1、A 2、A 3，则 P（A 1）=m 3P（A 2）=1（1m） 3=3m3m 2+m

8、3P（A 3）=2（1m）m 2+m3=2m2m 3（2）P（A 2）P（A 1）=3m3m 2=3m（1m） 0m1 P（A 2）P（A 1）P（A 2）P（A 3）=2m 35m 2+3m=m（2m3） （m1）0 P（A 2）P（A 3）三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优【例 8】 某厂生产的 A 产品按每盒 10 件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂质检办法规定：从每盒 10 件 A 产品中任抽 4 件进行检验，若次品数不超过 1 件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格已知某盒 A 产品中有 2 件次品（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进

9、行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率用心 爱心 专心 117 号编辑 4解：(1)从该盒 10 件产品中任抽 4 件，有等可能的结果数为 种，410C其中次品数不超过 1 件有 种，43182C被检验认为是合格的概率为 4105(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验， 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为 ， 3故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为123C()552答：该盒产品被检验认为是合格的概率为 ；两次检验得出的结果不一致的概率为 13552【例 9】 某先生居住在城镇的 A 处，准备开车到单位 B 处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独

10、立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：ACD 算作两个路段：路段 AC 发生堵车事件的概率为 ，路段 CD 发生10堵车事件的概率为 ).15（1）请你为其选择一条由 A 到 B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线 ACFB 中遇到堵车次数为随机变量 ，求 的数学期望.E解：（1）记路段 MN 发生堵车事件为 MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线 ACDB 中遇到堵车的概率 P1为 )()(DBCA=11P（AC）1P（CD）1P（DB）=1 ；1036549同理：路线 ACFB 中遇

11、到堵车的概率 P2为 1P（ )103(829)小 于FBCA路线 AEFB 中遇到堵车的概率 P3为 1P（ 301小 于E显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.用心 爱心 专心 117 号编辑 5因此选择路线 ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小.（2）路线 ACFB 中遇到堵车次数 可取值为 0，1，2，3.240637109231207 )()()()1( ,8561 FBCAPFBCAPFBCAP.312407240631850 ,)()3( ,)()()()( EFBCAP答：路线 ACFB 中遇到堵车次数的数学期望为 .【例

12、 10】 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量，它的分布列如下： 1 2 3 12P 12设每售出一台电冰箱，电器商获利 300 元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用 100 元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设 x 为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑 1 x12 的情况，设电器商每月的收益为 y 元，则 y 是随机变量 的函数且 y= ,电器商平均每月获益的),(103,平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+P12)+300100( x1) P1+2300100( x2) P2+300( x1)1

13、00 Px1=300x(12 x+1) + 300 212)(02)(x= (2 x2+38x)35由于 xN,故可求出当 x=9 或 x=10 时，也即电器商月初购进 9 台或 10 台电冰箱时，收益最大.【例 11】 袋中装有 3 个白球和 4 个黑球，现从袋中任取 3 个球，设 为所取出的 3个球中白球的个数（I）求 的概率分布； （II）求 E 解：（I） 的可能取值为 0，1，2，3. P（ 0） ； P（ 1） ；347C512347C85用心 爱心 专心 117 号编辑 6P（ 2） ； P（ 3） . 21347C53047C15 的分布列为： 0 1 2 3P43585（II

14、） E 0 1 2 3 . 435182197【例 12】 甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数 稳定在 7，8，9，10 环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：击中频率 击中频率7 8 9 10 击中环数 7 8 9 10 击中环数甲 乙（1）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中 8 环的概率 ，以及求甲，乙8乙P同时击中 9 环以上（包括 9 环）的概率；（2）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解（1）由图可知 ， ，2.07乙P2.09乙P35.01乙所以 =10.20.20.35=0.25 8乙P同理 ，

15、，2.07甲 15.8甲 3.甲所以 30.1甲因为 65.03.9甲P5.0.29乙P所以甲，乙同时击中 9 环以上（包括 9 环）的概率P= =0.650.55=0.3575甲 乙(2)因为 =70.2+80.15+90.3+100.35=8.8甲E0.30.20.150.350.2用心 爱心 专心 117 号编辑 7=70.2+80.25+90.2+100.35=8.7乙E 所以估计甲的水平更高. 甲 乙【例 13】 有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的频率数如下：10，154 30，35 9 15，20 5 35，40 8 20，25 10 40，45 3 )25，30 11)

16、(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段10,15 )15,20 )20,25 )25,30 )30,35 )35,40 )40,45 )总计频数 4 5 10 11 9 8 3 50频率 0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1累积频率0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：【概率练习】一、选择题1、甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概率是 .现在三213141人同时射击目标，则

17、目标被击中的概率为( ) 107D. 54C. 3B. 43A.2、已知随机变量 的分布列为： P( =k)= ,k=1,2,3,则 P(3 +5)等于( )31A.6 B.9 C.3 D.4二、填空题3、1 盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取 1 个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数 的期望 E =_.4、某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出 4 人参加某项活动，用心 爱心 专心 117 号编辑 8这 4 人恰好来自不同组别的概率是_.三、解答题5、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.6，计算：(1)两人都击中目标的概率；

18、(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.6、已知连续型随机变量 的概率密度函数 f(x)=2 01 xa(1)求常数 a 的值，并画出 的概率密度曲线；(2)求 P(1 ）.237、设 P 在0,5上随机地取值，求方程 x2+px+ =0 有实根的概率.14p8、设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周 5个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少？参考答案一、1.解析：设甲命中目标为事件 A，乙命中目

19、标为事件 B，丙命中目标为事件 C，则目标被击中的事件可以表示为 A+B+C，即击中目标表示事件 A、 B、 C 中至少有一个发生. .41)(31)2()1)()(1)()( PPCBPACBP故目标被击中的概率为 1 P( )=1 43答案：A2.解析： E =(1+2+3) =2， E 2=(12+22+32) =331 D =E 2( E )2= 2 2= .14 D(3 +5)=9E =6.答案：A二、3.解析：由条件知， 的取值为 0，1，2，3，并且有 P( =0)= ,43C1293.021094130 0)(,9C)(,2C)( 4129319EPP用心 爱心 专心 117

20、号编辑 9答案：0.34.解析：因为每组人数为 13，因此，每组选 1 人有 C 种方法，所以所求概率为 P=13.45213C)(答案： 45213)(三、5.解：(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A， “乙射击一次击中目标”叫做事件 B.显然事件 A、 B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是 P(AB)= P(A)P(B)=0.60.6=0.36答：两人都击中目标的概率是 0.36(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P(A )=P(A)P( )=0.6B(10.6)=0.60.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是 P( B)=P( )P(B)=0.2

21、4，显然， “甲击中、乙未击中”和A“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件 A 与 B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是 P(A )+P( B)=0.24+0.24=0.48答：其中恰有一人击中目标的概率是 0.48.(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率 P=P(AB)+ P(A )+P( )B=0.36+0.48=0.84答：至少有一人击中目标的概率是 0.84.6.解：(1)因为 所在区间上的概率总和为 1，所以 (1 a+2 a)1=1,2 a= 21概率密度曲线如图：(2)P(1 )=23932)1(7.解：一元二次方程有实数根 0而 =P24( )=P2 P2=(

22、P+1)(P2)4解得 P1 或 P2故所求概率为 P= 535,0),1(. 的 长 度 的 长 度8.解：以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数，则 X B(5，0.2)，于是 X 有概率分布P(X=k)=C 0.2k0.85 k,k=0,1,2,3,4,5.5以 Y 表示一周内所获利润，则用心 爱心 专心 117 号编辑 10Y=g(X)=3 201 5若若若若Y 的概率分布为：P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328P(Y=5)=P(X=1)=C 0.20.84=0.4101P(Y=0)=P(X=2)=C 0.220.83=0.2055P(Y=2)= P(X3)=1 P(X=0) P(X=1) P(X=2)=0.057故一周内的期望利润为：EY=100.328+50.410+00.20520.057=5.216(万元)