1、2016 年高考数学专题复习导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为()yfx0 0()fx。00)()fx(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。(yfx0()fx(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（
2、减）区间。)()fx（ ） ()f(4)函数 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ 不恒(fx xIf()fx为 0）.(5)函数 （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值， 则可等价转化为()f ()f方程 在区间 I 上有 实根且为非二重根。 （若 为二次函数且 I=R，则有 ）。xx 0(6) 在区间 I 上无极值 等价于 在区间在上是 单调函数，进而得到 或()f ()fx ()fx()fx在 I 上恒成立0(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则x()f0min()f0xI()f0max()f0(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则0Ix
3、ax0fxin.(9)设 与 的定义域的交集为 D，若 D 恒成立，则有()fxg()fg.min0(10)若对 、 ， 恒成立， 则 .1I2x12()fxgminax()()fx若对 ， ，使得 ,则 .I()iing若对 ， ，使得 ，则 .1I212fxmaxax()()f（11）已知 在区间 上的值域为 A,， 在区间 上 值域为 B，()fx1()gI若对 , ，使得 = 成立，则 。I2I1fx2)A(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 有两个不等 实根 ，且极大值大于 0，(012x、极小值小于 0.(13)证题 中常用的不等式 : ln1(0)x1xx + ln(1
4、)x（ ） ee l()2x22l(0)x sinx0)e1、有关切线的相关问题例题、 【2015 高考新课标 1，理 21】已知函数 f（x ）= .31,()ln4axgx()当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；()yf【答案】 （） 34跟踪练习：1、 【2011 高考新课标 1，理 21】已知函数 ，曲线 在点ln()1axbf()yfx处的切线方程为 。(,)f 230xy（）求 、 的值；ab解：（） 221(ln)xbfx由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即30y1(,1)()1,2f解得 ， 。1,2baab2、(2013 课标全国，理 21)设函数 f(x) x2 ax
5、 b， g(x)e x(cx d)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线y4 x2.(1)求 a， b， c， d 的值；解：(1)由已知得 f(0)2， g(0)2， f(0)4， g(0)4.而 f( x)2 x a， g( x)e x(cx d c)，故 b2， d2， a4， d c4.从而 a4， b2， c2， d2.3、 (2014 课标全国，理 21)设函数1(0lnxxbefa，曲线 ()yfx在点（1， ()f处的切线为 (1)yex. ()求 ,；【解析】：() 函数 f的定义域为 ,， 112()lxxxxabf e 由
6、题意可得 (1)2,()f，故 2ab 6 分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015 高考江苏，19】已知函数 .),()(23Rbaxf （1）试讨论 的单调性；【答案】 （1）当 时， 在 上单调递增；0afx,当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；fx2,3a0,2,03a当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减0af,当 时， 时， ， 时， ，0a2,0,3ax0fx2,3a0fx所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减f, ,练习：1、已知函数1()lnafxx()R.当12a时，讨论 ()f的单调性；答
7、案：()ln10)afxx，22l11( (0)axaf xx令2()1(0)hxax当 0时， )，当 (0,1),()0xhfx,函数 ()fx单调递减；当 (,()xhxf，函数 f单调递增.当 0a时，由 ()0f，即 210ax，解得 12,1xa.当12时 2x， ()h恒成立，此时 ()f，函数 ()f单调递减；当0a时，10, (,1)x时 0,()hxf，函数 ()fx单调递减；1(,)x时， (),hf，函数 f单调递增；,a时， 0,()xf，函数 ()fx单调递减.当 0时1，当 (,1)0,()hxf,函数 ()fx单调递减；当 (,)0,xhxf，函数 单调递增.综
8、上所述：当 a时，函数 ()x在 ,单调递减， (1,)单调递增；当12时 2x, ()0h恒成立,此时 ()0fx，函数 ()fx在 0,)单调递减；当0a时,函数 ()f在 ,1递减,1a递增,递减.2、已知 为实数，函数 ，函数 ，令函数 ()exfx()1gax()()Fxfgx当 时，求函数 的单调区间0aF解：函数 ，定义域为 1()exaxxa当 时， 0a22 21()1()ee)x xFa 令 ，得 9 分()0Fx21ax当 ，即 时， 21a()0Fx当 时，函数 的单调减区间为 ， 11 分()1(,)a(,)当 时，解 得 102a21ax21,xx ，令 ，得 ，
9、， ；()0Fx1(,)a1(,)x2(,)x令 ，得 13 分12,x当 时，函数 的单调减区间为 ， ，102a()F(,)a1(,)；函数 单调增区间为 15 分(,)a()x12,a当 ，即 时，由（2）知，函数 的单调减区间为 及101a()Fx(,2)(2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015 高考四川，理 21】已知函数 ，22()2)lnfxaxa其中 .0a（1）设 是 的导函数，评论 的单调性；()gxf()g【答案】 （1）当 时， 在区间 上单调递增，14ax14140,),(,)22aa在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调(,)2gx(0,递增.【解析】
10、（1）由已知，函数 的定义域为 ，()fx(0,)，()2ln21agxfxa所以 .22()()4()x当 时， 在区间 上单调递增， 104a()gx11(0,),(,)2aa在区间 上单调递减；141(,)2a当 时， 在区间 上单调递增.a)gx(0,练习： 已知函数 ， lnafxR（1）求函数 的单调区间；()解：函数 的定义域为 fx0,)2()1axaf令 ，得 ，记 0fx2014a（）当 时， ，所以 单调减区间为 ； 5 分4a ()fx ()fx(0,)（）当 时，由 得 ，10f12414,aa若 ，则 ，04a12x由 ，得 ， ；由 ，得 ()fx 1()0fx2
11、1x所以， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为f 4(0,2a14,)a； 7 分141(,)2a若 ，由（1）知 单调增区间为 ，单调减区间为 ； 0()fx(0,1)(1,)若 ，则 ，a12由 ，得 ；由 ，得 ()0fxx()0f 1x的单调减区间为 ，单调增区间为 9 分f 4,2a14(0,)2a综上所述：当 时， 的单调减区间为 ；1a ()fx,)当 时， 的单调减区间为 ，04f 14(0,2a，单调增区间为 ；1(,)2a14(,)2a当 时， 单调减区间为 ，单调增区间为0 ()fx1(, 10 分14(0,)2a2. 已知函数 1()2ln()fxaxaR求函数 f的单
12、调区间；解：函数的定义域为 0,，221()axfxa 1 分（1）当 a时， 2()0h在 (,上恒成立，则 ()0fx在 ,上恒成立，此时 )fx在 )上单调递减 4 分（2）当 时， 24a，（）若 1a，由 ()0fx，即 ()0hx，得21a或21ax； 5 分由 ()f，即 ()，得226 分所以函数 ()fx的单调递增区间为21(0,)a和21(,)a，单调递减区间为221(,)a 7 分（）若 a， )0hx在 (,上恒成立，则 ()0fx在 ,)上恒成立，此时()fx在 ,上单调递增 3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数 .()lnfxax（1）若 a=1，求函数 在区
13、间 的最大值;1,e（2）求函数 的单调区间；()fx（3）若 恒成立，求 的取值范围()0fa解：（1）若 a=1, 则 ()1lnfxx当 时, , ，1xe2()lnfxx2 1()20xfx所以 在 上单调增, . 2 分()f maxffe（2）由于 ， lnxa(0,)（）当 时，则 ， ，02()lfxx2 11(2xafxa令 ，得 （负根舍去） ，()fx20804a且当 时， ；当 时， ，0,()fx0(,)x()0fx所以 在 上单调减，在 上单调增.4 分()fx28,4a28,4a（）当 时，0当 时， ,xa2 11()2xafxa令 ，得 （ 舍） ，()0f1
14、84284若 ，即 , 则 ，所以 在 上单调增；284aa()0fx()fx,)a若 ，即 , 则当 时， ；当 时，2011(,)()0f1(,)x，所以 在区间 上是单调减，在 上单调()0fx()fx28(,)4a28(,)4a增. 6 分当 时, ,0xa2 11()2xafxa令 ，得 ，记 ，()f028若 ，即 , 则 ，故 在 上单调减；280a2a()0fx()fx0,a若 ，即 , 则由 得 ， 且 ，()0fx2384a248ax340xa当 时， ；当 时， ；当 时，3,()fx34(,)()f4(,)，所以 在区间 上是单调减，在()0fxf280,a上单调增；在
15、 上单调减. 228(,)4a2(,)4a8 分综上所述，当 时, 单调递减区间是 ， 单调递增区间1a()fx28(0,)4a()fx是 ；28(,)4a当 时, 单调递减区间是 ， 单调的递增区间是1()fx(0,)a(fx；(,)a当 时, 单调递减区间是(0, )和 ，2()fx28428(,)4a单调的递增区间是 和 . 10 分()fx228(,)4aa(,)（3）函数 的定义域为 )fx(0,)x由 ，得 *(0lna（）当 时， ， ，不等式*恒成立，所以 ；,1)x0x lxRa（）当 时， ， ，所以 ； 12 分a ln1a（）当 时，不等式*恒成立等价于 恒成立或 恒成
16、立1xlnxlnxa令 ，则 ln()h21ln()xh因为 ，所以 ，从而 1x0()因为 恒成立等价于 ，所以 lnaminahx1a令 ，则 ln()xg21ln()xg再令 ，则 在 上恒成立， 在21le0e(1,)x()ex上无最大值(1,)x综上所述，满足条件的 的取值范围是 16 分a(,)2设 a为实数，函数 2()|fx（2）求函数 f的单调区间4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015 高考天津，理 20 已知函数 ，其中 .()n,fxxR*n,2N(I)讨论 的单调性；()fx【答案】(I) 当 为奇数时， 在 ， 上单调递减，在 内单调递n()fx,1)(,)(1,
17、)增；当 为偶数时， 在 上单调递增， 在 上单调递减. (II)见解析；f,fx(1,)(III)见解析.(2)当 为偶数时，n当 ，即 时，函数 单调递增；()0fx1()fx当 ，即 时，函数 单调递减.所以， 在 上单调递增， 在 上单调递减 .()fx,)()fx1,)5、已知单调区间求参数范围例题：（14 年全国大纲卷文）函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）讨论函数 f(x)的单调性；（2）若函数 f(x)在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围.解：（1） ， 的判别式=36（1-a）.(36fa2()360fxx（i）若 a1，则 ，且 当且仅当 a=1，x
18、=-1，故此时 f（x）在 R 上()0fx0是增函数.（ii）由于 a0，故当 a0，x 0 时, ，所以当 a0 时，f（x）在区间（ 1，2）是增函数.x若 a0 时，f （ x）在区间（1,2）是增函数当且仅当 且 ，解得()0f()f.504a综上，a 的取值范围是 .5,0)(,)4二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2015 高考山东，理 21】设函数 ，其中 .2ln1fxaxaR（）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；fx（2）当 时， 0a28198aa当 时， ， 890gx所以， ，函数 在 上单调递增无极值；fxf,当 时， a0设方程 的两根为 21
19、0axa12,(),x因为 12所以， ,4x由 可得：0g1,4x所以，当 时， ，函数 单调递增；1,x0gffx当 时， ，函数 单调递减；12,x当 时， ，函数 单调递增；xffx因此函数 有两个极值点f（3）当 时，0a由 可得：1g1,x当 时， ，函数 单调递增；2,x0gffx当 时， ，函数 单调递减；,x因此函数 有一个极值点f综上：当 时，函数 在 上有唯一极值点；0afx1,当 时，函数 在 上无极值点；89当 时，函数 在 上有两个极值点；fx,例题：【2015 高考安徽，理 21】设函数 .2()fxab（）讨论函数 在 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值
20、；(sin)fx(,2【解析】（） ， .2(sin)isinsi(n)fxaxbxab2x， .)co2因为 ，所以 .2xcos0,2sinxx当 时，函数 单调递增，无极值 .,abR(i)f当 时，函数 单调递减，无极值.sx当 ，在 内存在唯一的 ，使得 .2(,)2002sinxa时，函数 单调递减； 时，函数 单调递增.0xsinfxx(si)f因此， ， 时，函数 在 处有极小值abR(si)f0.20(sin)(4fxf（2）已知极值点个数求参数范围例题：【14 年山东卷（理） 】 设函数 （ 为常数，)ln2(xkxefk是自然对数的底数）.718e（I）当 时，求函数 的
21、单调区间；0kfx（II）若函数 在 内存在两个极值点，求 k 的取值范围。f,2） 。的 取 值 范 围 为 （综 上则 ） 令（ 单 调 递 增 。时 ，当 单 调 递 减 ；时 ，当 则令 时 ，当 ）解 ： （ 2,: 1ln0lln2,)2()(10ln,)(2)(,)0(2,0e,kx)()( )1(1ln22 x3 24 eeekkkggkxegff kexkekxxx xx 练习：1、 【2014 年天津卷（理） 】2、 （2014 湖南） （本小题满分 13 分）已知常数 ，函数 . 0a2()ln1)xfxa（）讨论 在区间 上的单调性；()f,（）若 存在两个极值点 ，且
22、 ，求 的取值范围.x12,12()0ffa【解析】 （） ,4afx4axx2241x（*）因为 ,所以当 时,210ax10当 时, ,此时，函数 在 单调递增,f fx当 时, （舍去） ，0121 ,aa当 时， ；当 时， .1()x0fx1()0fx故 在区间 单调递减,在 单调递增的.f1(),x综上所述当 时, ,此时，函数 在 单调递增,afxf当 时, 在区间 上单调递减,在 上单调递增010,2a12a的. （）由（*）式知，当 时， 函数 不存在极值点，因而要使得1a0fxfx有两个极值点，必有 ，又 的极值点只可能是 和fx0f 12ax，21a且由 的定义可知， 且
23、 ，所以 ， ，fx1xa21a2a解得 ，此时， （*）式知 , 分别是 的极小值点和极大值点，而121fx212 2()ln()ln()fxfxa11221124l 4xxa24lnlna令 ，由 且 知21ax01a当 时, 当 时, 记 0;201.x2()lngx（）当 时， ，所以()ln2gx x因此， 在 上单调递减，从而 ，()gx1,0()140g故当 时，02a2()0fxf（）当 时， ，所以lngx2()x因此， 在 上单调递减，从而 ，()gx0,1(1)0g故当 时，2a2()0fxf综上所述，满足条件的 的取值范围是为 .a,2【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. （三）最值
