1、1专题二 函数与导数一专题综述函数是整个高中数学的核心内容，所有知识都围绕这一主线展开，均可以与函数建立联系，函数知识的运用也贯穿高中学习的全过程，理所当然是高考的重点。1.考纲要求（1）掌握集合的概念与运算；（2）了解映射的概念；（3）掌握函数、反函数的概念，会建立简单的函数关系，并能求简单函数的反函数；（4）理解函数图像及函数图像关系的重要结论，能借助函数的图像解决函数自身、方程、不等式的有关问题；（5）掌握函数的性质（定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性） ；能借助函数的性质去解决问题；（6）掌握函数的极限的定义，能求简单函数的极限；掌握函数连续的概念，了解函数有极限、连续的关系；
2、（7）掌握导数的概念及意义，掌握常见函数的导数公式，能用导数求曲线的切线方程，能求简单函数的导数，能利用导数研究函数的单调性、最值。2.考题设置与分值：每年高考试题涉及函数的题目都占有相当大的比重（约 30 分） ，具体表现在：（1）以客观题的形式独立（或简单综合）考查函数的概念、图像、性质及其应用；（1-2 题）（2）以主观题（解答题后三题之一）的形式考函数与导数的综合（1 个解答题）（3）在其它知识考查时加入函数的成分，主要体现在：不等式与函数综合；数列与函数综合；解析几何与函数综合。3.考试重点及难度：（1）函数的基本性质，是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题
3、的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。研究基本性质：不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度；对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等；要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。(2)函数的图像。函数图像是函数形
4、的体现，高考着力考查学生作图、识图、用图能力。作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题代数化。(3)函数的一些小结论。要重视并加强一些小结论形成过程的理解：例如：2设函数 的定义域为 ，则有：()fxR如 恒成立 函数 图像关于 对称；()afbx()fx2bax如 经过变换得到两函数 和 ，则所得两个函数()fxya()yf图像关于 对称；2如 恒成立 函数 是以 为周期的周期函数；()()faxfb()fxTab如 恒成立 函数图像关于点 对称；()2)f (,)如函数
5、的图像关于 对称，又关于 对称，则函数xxaxba一定是以 为一个周期的周期函数；()fxTab如函数 的图像关于 对称，又关于点 对称，则函数 一()fxx(,)c()fx定是以 为一个周期的周期函数；4再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如 ， ，()()fxyfy)()fxfy()(1fxyfy再如：指数函数 图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，()bfxa等等。(4)函数思想与方法。函数是高中数学的主线，在考查其他知识时（如：方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等）运用函数观念和方法找出解决问题的突破口这也是高考一种趋势；(5)导
6、数。利用导数去研究函数，进而研究方程、不等式，这是高考的一个重要考点，一般以解答题的后三题的形式出现，所以有一定的难度。二考点选讲【考点 1】函数的图像及其应用：以客观题的形式考察函数的图像及其应用，这是高考的必考点，他体现了数形结合的数学思想。这类题一般以客观题的形式出现，虽说难度不大，但往往比较灵巧。对函数的图像我们不仅要会作，还要能识图、用图。【例 1】单位圆中弧 长为 ， 表示弧 与弦 所围成弓形面积的 2ABx()fAB3倍。则函数 的图像是（ ）()fx【解析】解一：定量分析。可列出 ，知 时， ，()sinfx0x()fx图像在 下方； 时， ， 图像在 上方。选()fxyx2(
7、)fyD解二：定性分析。当 从 增至 时， 变化经历了从慢到快，从快0f到慢的过程。解三：观察 满足： ，故 图像以 为对称()fx()2()ftftf()fx,中心。【注】 此题考查作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求 解()fx析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。【练习 1】已知函数 为偶函数，则函数 图像关于直线 (21)yfx(2)yfx对称，函数 图像关于直线 对称。()f【练习 2】设定义域为 函数 满足 且当 时， 单调R()fx()4),ffx2()fx递增，如果 且 ，则 的值（ ）124x0211(A、恒小于 0 B、恒
8、大于 0 C、可能为 0 D、可正可负【练习 3】设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，g(x)是定义在 R 上的恒大于零的偶函数，且当 x0 时有 f /(x) g(x)1 时， 。试解决以下问题：)()(nfmfnf 0（1）求 的值，并判断 的单调性；)(xf（2）设 ，|)(yfyxA，若 AB，求实数 a 的取值RaaB， 0)2|xyO6范围；（3）若 ，满足ba0|)2(|)(| baffa求证： 23【练习 1】 定义在（-1，1）上的函数 f(x)满足：对任意 x、y (-1,1)都有。)()(xyfyfx（I）求证：函数 f(x)是奇函数；（II）如果当 时，有 f(x
9、)0，判断 f(x)在)01(，(-1,1)上的单调性，并加以证明；（III）设-10 时，证明： eb1（3）若 a0,b0, 证明：fafaf 2ln三专题训练函数与导数测试题满分：150 分 时间：120 分钟 第卷（选择题 共 60 分）一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1设 是集合 到集合 的映射，若 ，则 为 2:fxAB1,2AB( )A B1 C 或2 D 或12函数 的零点所在的区间为 xfln)(（ ）A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （
10、1，e）3若函数 在区间 上为减函数，则 的取值范围是 2()log(3)afxx(,aa( )A(0，1) B(1，) C(1，2 ) D(0，1)3(1，2 )34已知函数 存在反函数 ，且 的图象过定点（3，1） ，则函(xf )(1xf(f数 的图象一定过点 )(1f（ ）A B C D ),4()1,2( )4,1( )2,1(85若 ，则 0()lnxeg1()2g（ ）A、 B、1 C、 D、1212eln26曲线 在点 处的切线与坐标轴围成三角形面积为 3yx4(,)（ ）A、 B、 C、 D、192913237已知 的图象如图所示，则有 3()fxabcxd( )A 0B 1
11、C 2bD 8函数 的定义域为（a,b） ，其导函数)(xf内的图象如图所示，则函数,bay在在区间（a,b）内极小值点的个数是 )(xf（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 9. 已知函数 定义域为 ，则下列命题： ()fxR若 为偶函数，则 的图象关于 轴对称. y(2)yfxy若 为偶函数，则 关于直线 对称. (2)fx2x若函数 是偶函数，则 的图象关于直线 对称. 1y()yf 12x=若 ，则则 关于直线 对称. ()()fxfxxx函数 和 的图象关于 对称. 2y()yf2其中正确的命题序号是 ( ) A、 B、 C、 D、10. 设 是连续的偶函数，且当 x0 时
12、是单调函数，则满足fx ()fyxo 1 29的所有 之和为 （ ）3()4xfxA B C D8811 某工厂从 2000 年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量 与时间 的函数图像可能是 yt() 12 函数 )(xf在定义域 R 内可导，若 )2()xff，且当 )1,(时，0)1(x，设 .3,21(),0(cbfa则 （ ）A cbaB baC D二.填空题(每小题 4 分,共 16 分)13.对任意实数 ，定义 为不大于 的最大整数（例如 等） ，xx3.4,.4设函数 ，给出下列四个结论： ；
13、； 是)f()0fx()1fx()fx周期函数； 是偶函数。(f其中正确结论的是 14定义非空集合 的真子集的真子集为 的“孙集” ，则集合 的AA,3579“孙集”的个数有个15.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 ，值域为1,4的“同族函数”共有2yx_个.16.设 ()fx是定义在 R上且以 3 为周期的奇函数，若 (1)f，231af，则实数 a的取值范围是 三.解答题（本大题共 6 小题。共 74 分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤）4 8yot4 8yot4 8yot4 8yot CDAB1017、 对于函数 ）
14、 ，若 ，则称 为 的“不动点”.若()fx()fxx()f，则称 为 ）的“稳定点” ；函数 的“不动点”和“稳定()fx f点”的集合分别记为 和 ，即 ， .AB|()xf|()Bxfx（1）求证： ；（2）若 ，且 ，求实数 的取值范围.2()1fxa(,)RAa18.设函数 22()ln()fxx(1)求函数 的单调区间;(2)当 时，不等式 恒成立,求实数 的取值范围;1,e()fm(3)关于 的方程 在 上恰有两个相异实根，求 的取值范围.x2()fxa02 a19 设函数 的定义域为 ，对于任意实数 ，总有 ，()fxR,xy()()fxyfy且当 时， 0()1f(1)求 的
15、值；(2)证明：当 时， ；f 0()1f(3)证明： 在 上单调递减；,)(4)若 ， ，且|(Myfaf2| )1,NyfaxyxR，求 的取值范围Na20 （本小题满分 14 分）对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为 , 要求清洗完后的清洁度为 . 有两种方）物 体 质 量 （ 含 污 物 ）污 物 质 量8.090案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为 . 设用 单位质量的水初次)31(ax清洗后的清洁度是 , 用 单位质量的水第二次清洗后的清洁18.0x)(ay度是
16、, 其中ayc 是该物体初次清洗后c)9.08.(11的清洁度. ()分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水95.0c量较少; ()若采用方案乙, 当 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水a量, 使总用水量最小? 并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21 （本小题满分 12 分已知二次函数 设方程 有两个实数根),0(1)(2Rbaxxf ()fx.12,x()如果 ，设函数 )的对称轴为 ,求证： ;421f 001()如果 ，且 的两实根相差为 2，求实数 的取值范围.0x()fxb22.定义函数 ， ， ，其导函数记为 。()1nnfx2xnN
17、()nfx（）求证： ；（）设 ，求证： ；011()()nnffx 01（）是否存在区间 ，使函数 在区间,(,ab32()()hxffx上的值域为 ？若存在，求出最小的 值及相应的区间 ；若,abkk,ab不存在，请说明理由。参考答案一、选择题DCCCA DABCD CB 二、填空题13 14 26 15 9 16 2,49(三、解答题17 （1） 【证明】：若 A ，则 显然成立；若 A ，设 ，Bt12并且 ，于是 ，即 ，从而 .()ft()ftfttBA（2） 【解】： A 中元素是方程 ，即 的实根.()fx21ax由 A ，知 或 即 .0a014a4中元素是方程 ，即 的实根
18、.B2()xx3210axa由 知上方程左边含有一个因式 ，即方程可化为2122(1)(1)0axxa因此，要 ，即方程 没有实根或实根是方程AB20xa的实根.20x若没有实根，则 或 ，由此解得 .0a214()0a 34a若有实根，则的实根是的实根。当 时有唯一根 ，检验发现是的根。34a3x当 时，方程同解，由此解得 ，再代入得 ，12xa1042a由此解得 .舍去。故 的取值范围是 ，a143418. (1)函数定义域为 ,)1(),(,1)2()1(2 xxf由 得 ；由 得,0)(xf20x或 ,0(f .0或则递增区间是 递减区间是 。 (,1), 2)(1(2)由（1）知,
19、在 上递减,在 上递增.又xfe,e.21,2)1(,)(2 fef 且13时, 故 时,不等式 恒成立. 1ex,2)(maxef 2emxf)(3)方程 即 .记 ,(2f0)1ln(x2)1ln(xag.由 得 由 得 在 上递减,1)xg则 ,0)(g,x或 ,.1x0在 上递增. 为使 在 上恰好有两个相异的实根,只须2,1 2fa )(xg在0，1）和（1，2上各有一个实根,于是 解得(0)1.2g2ln32lna19 解：(1)令 时，得 ；1,0xy()f(2)令 ，则 1 ，即()xfx()1fx()fxf当 时，由于 ；0()1().fxf(3)设 ，则 ，由题设知 12x
20、021()0fx22111()()()fffxf 1x 在 上单调递减；()f,)(4)由已知及(3)得： ，|Mya2|1,NyaxR显然，当 时， 。0a0.当 时，21|(),4NxR要使 ，必须 4a即 。2410a故所求的 的取值范围是 R20 解（1）设方案甲与乙的用水量分别为 与 ，xzO a11 yaO xxyy14由题设 ，解得 。0.19x19x由 得方案乙初次用水量为 3，第二次用水量 满足 ，.5c y0.95.a解得 ，故4ya34.za即两种方案的用水量分别为 19 和 。43a因为 时， ，即 。故方案乙的用水量较少。1()0xzxz（2）设初次和第二次的用水量分
21、别为 与 。类似（1）得y（*）54,(90)(1)cxyac于是 541()0()1.(1)5()acc当 为定值时，a245.(1)xy a当且仅当 时等号成立，此时 （不合题意，105()acc10c舍去）或 。(.8,9)1将 代入（*）式得05ca21,2.xy故 时总用水量最少，此时第一次与第二次的用水量分别为05ca与 最少总用水量是21.()451.Taa当 时， ，故 是增函数，这说明随着 的值的增3a25()10Ta()a加，最少总水量增加。21()设 212()()(),0,gxfxbax且15于是 ，12()bax01222122221()()()1.x xxx（）由 知 同号，又12ax12,11210, 4,-=Q由于 ，所以12b1244bx13x而后者左端看成 的函数其正确性是显然的。故x .b22.【略解】 （）证明：令 ，则由 得()nngxfx1()0nngx，且， 0x是 的唯一极小值点，故 ，()ngxmin()(0)x因此，有 ；()nfx（） ：显然 ，且0011(1)2()()nnnfxf 0x，而 ，故 ；02()nx1012)2nnnC01（） 的最小值为 ，相应区间k94,.3ab
