1、高三数学专题复习导数及其应用优能提醒： 请认真审题，仔细作答，发挥出自己的真实水平！一、选择题 ：1已知函数 记为它的导函数，若在上存在反函数，且则的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】考点：导数、不等式综合.分析：函数与导数、不等式的综合问题是高考的难点，充分挖掘题意，掌握相关知识点的思想方法是解题的关键.解答：即在上存在反函数，且对恒成立，即对恒成立.从而又即 从而于是2已知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如右图所 示，设函数，则（ ） A BC D【答案】D【解析】考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义743879 分析：求出函数的解析式，然后将
2、代入比较即可求出的大小关系解答：二次函数的导函数是一次函数，三次函数的导函数是二次函数一次函数过点，二次函数过点，记为常数则，故答案为：故答案为：D3定义在R上的函数满足的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足的取值范围是（ ）A B CD【答案】C4已知函数在R上满足，则曲线在点 处的切线方程是（ ）A B C D【答案】A【解析】考点：本题主要考查导数的几何意义曲线的切线方程函数的相关性质和复合函数的求导，结构比较新颖，综合性较强解答：在中，令，则， 在两边对求导数得于是，5下列关于函数f（x）=（2x-x2）ex的判断正确的是（ ）f（x）0的解集是x|0x2；f（-）是极小值，f（
3、）是极大值；f（x）没有最小值，也没有最大值A B C D【答案】D6（温州十校联合理） 如图所示的曲线是函数的大致图象，则等于（ ）A BC D【答案】C7 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且的解集为（ ）A（-2，0）（2，+） B（-2，0）（0，2）C（-，-2）（2，+） D（-，-2）（0，2）【答案】A8设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】考点：本题主要借助导数重点考查三角变换三角函数图象及性质，属于基础知识基本运算的综合考查解答：因，所以，9设则等于（ ）A B C D 不存在【答案】C【解析】考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作
4、法；定积分 专题： 计算题分析： 本题考查的知识眯是分段函数的定积分问题，我们根据定积分的运算性质，结合已知中，代入易得结论解答： 解：数形结合，02f（x）dx=01x2dx+12（2x）dx=故选C10若（的二项展开式中有n个有理项，则（ ）A B C1 D2【答案】A11已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）A 0，）B C D 【答案】D【解析】考点： 导数的几何意义专题： 计算题分析： 利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围解：因为y=1，0），即tan1，0），00故错f（x）在（-3，+）单调递增y=f（x
5、）在区间（-3，1）上单调递增故对 故答案为：B14若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ）A-1或- B-1或 C-或- D-或7【答案】A【解析】考点：导数的几何意义分析：已知点不在曲线上，容易求出过点的直线与曲线相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出的值解答：由，设曲线上任意一点处的切线方程为，代入方程得或当时，切线方程为，则， 当时，切线方程为，由，故答案为：A15已知直线与曲线相切，则的值为（ ）A1 B2 C -1 D-2【答案】B【解析】考点：本题属于中档题，考查导数的几何意义切线求参数
6、值解答：，设切点为，由得代入得，故16已知f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x），则有（ ）A e2013f（2013）f（0），f（2013）e2013f（0）B e2013f（2013）e2013f（0）C e2013f（2013）f（0），f（2013）f（0），f（2013）e2013f（0）【答案】C【解析】考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得
7、出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论解答： 令g（x）=，则=，因为f（x）f（x），所以g（x）g（0），即，所以e2013f（2013）f（0），所以f（2013）0的解集为（ ）A （0，1+）B （2，4）C （，1）（2，+）D （2，1+）【答案】D【解析】考点： 函数的单调性与导数的关系；微积分基本定理 专题： 计算题分析： 由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x2）+f（x22x）0转化成f（x2）f（2xx2），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围解答： 解：f（x）=x2+2cosx知f（x
8、）=x3+2sinx+c而f（0）=0，c=0即：f（x）=x3+2sinx易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f（x）=x2+2cosx在x（0，2）恒大于0根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（x2）+f（x22x）0f（x2）f（x22x）即：f（x2）f（2xx2）解得：x（2，1+）故选D点评： 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题19设，若对于任意x30，1，总存在x00，1，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C 1，4D 【答案】A【解析】考点： 利用导数研究
9、函数的单调性 专题： 计算题；综合题；转化思想分析： 根据对于任意x30，1，总存在x00，1，使得g（x0）=f（x1）成立，得到函数f（X）在0，1上值域是g（X）在0，1上值域的子集，下面利用导数求函数f（X）g（X）在0，1上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围解答： 解：，f（x）=，当x0，1，f（x）0f（X）在0，1上是增函数，f（X）的值域A=0，1；又g（x）=ax+52a（a0）在0，1上是增函数，g（X）的值域B=52a，5a；根据题意，有AB，即故选A20设函数在内有定义。对于给定的正数，定义函数，取函数。若对任意的，恒有，则 ( )A的最大值为2
10、 B的最小值为2 C的最大值为3 D的最小值为3【答案】C21已知都是定义在R上的函数，且且，对于有穷数列，任取正整数，则前项和大于的概率是（ ）ABCD【答案】答案：D22设直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为（ ）A0 B1 C D【答案】D二、解答题 ：23已知函数，（）若y=f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，求m的取值范围；（）设，若在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范围【答案】（）y=f（x）g（x）=mx2lnx，y=，由于y=f（x）g（x）在其定义域内为单调函数，则mx22x+m0或者mx22x+m0在1，+）上恒成立，即m
11、或者m在1，+）上恒成立，而01，故m1或者m0，综上，m的取值范围是（，01，+）（）构造函数F（x）=f（x）g（x）h（x），F（x）=mx2lnx，当m0时，由x1，e得，mx0，2lnxh（x0）； 当m0时，F（x）=m+=，因为x1，e，所以2e2x0，mx2+m0，所以F（x）0在1，+）上恒成立，故F（x）在x1，e上单调递增，F（x）max=me4，只要me40，解得m，故m的取值范围是（，+）【解析】考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值最小值问题中的应用专题： 导数的综合应用分析： （）y=f（x）g（x）在1，+）上为单调函数，即y0或y0在1，+）上恒成立，
12、从而转化为函数最值处理；（）构造函数F（x）=f（x）g（x）h（x），则在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，等价于x1，e时，F（x）max0，进而转化为求函数最大值问题24已知函数（）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围【答案】（），解得（）当时，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是当时，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 当时， 故的单调递增区间是 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 （）由已知，在上有由已知，由（）
13、可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故 当时，在上单调递增，在上单调递减，故由可知，所以， 综上所述，25已知函数f（x）=lnx+x2ax（aR）（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若f（x）2x2，求实数a的取值范围；（III）求证：（nN*）【答案】f（x）的定义域为（0，+）（1）f（x）=，令g（x）=2x2ax+1，则g（0）=1当a0时，g（x）0，所以f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，若=a280，即00时，若=a280，即a时，令g（x）=0，得x=0，由g（x）0，即f（x）0，得x0，即f（x）0，得0x此时，f（x）的单调减区间是（，），单
14、调增区间（0，），（，+）综上，当a时，f（x）的单调增区间是（0，+）；当a时，f（x）的单调减区间是（，），单调增区间（0，），（，+）（2）由f（x）2x2，可得lnxx2ax0（x0），则当x0时，ax恒成立，令h（x）=x（x0），则h（x）=1=，令k（x）=1x2lnx（x0），则当x0时，k（x）=2x0；在（1，+）上，h（x）0，所以r（x）在（0，+）上单调递增，当x1时，r（x）r（1），即lnx0，lnx，令x=1+，则有ln（1+）=，故ln（1+1），ln（1+），ln（1+），ln（1+），累加上式，得ln（n+1）+故（nN*）【解析】考点： 利用导数研究函数
15、的单调性；导数在最大值最小值问题中的应用 专题： 导数的综合应用分析： （1）先求出函数定义域，在定义域内解含参的不等式f（x）0，f（x）0）恒成立分离变量，得ax恒成立，则只需a大于等于x的最大值即可用导数可求出x的最大值（3）构造函数r（x）=lnx，用导数可判断其在（0，+）上单调递增，从而r（x）r（1），再令x=1+，得到一不等式，n分别取1，2，n，再累加即可26已知函数（1）若函数f（x）在1，+）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=时，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）当a=时，求证：对大于的任意正整数n，都有【答案】（1）函数f（x）在1，+）上为增函数对x1
16、，+）恒成立，ax0对x1，+）恒成立，即对x1，+）恒成立a1（2）当a=时，当时，f（x）0，故f（x）在x（1，2上单调递增，f（x）在区间上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0又e36f（x）在区间上的最大值综上可知，函数f（x）在上的最大值是1ln2，最小值是0（3）当a=时，故f（x）在1，+）上为增函数当n1时，令，则x1，故f（x）f（1）=0，即即对大于的任意正整数n，都有【解析】考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 计算题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在1，+）上恒成立即可求出a的范围（2）将
17、a=代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值（3）先判断函数f（x）的单调性，令代入函数f（x）根据单调性得到不等式，令n=1，2，代入可证27设函数f（x）=2ln（x1）（x1）2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x23xa=0在区间2，4内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围【答案】（1）函数f（x）的定义域为（1，+），x1，则使f（x）0的x的取值范围为（1，2），故函数f（x）的单调递增区间为（1，2）（2）方法1：f（x）=2ln（x1）（x1）2，f（x）+x23xa=0x+a+12ln（x1）=0令g（x）=x+a+12l
18、n（x1），g（x）=1，且x1，由g（x）0得x3，g（x）0得1x3g（x）在区间2，3内单调递减，在区间3，4内单调递增，故f（x）+x23xa=0在区间2，4内恰有两个相异实根即解得：2ln35a1，由h（x）0得1x3，h（x）3h（x）在区间2，3内单调递增，在区间3，4内单调递减h（2）=3，h（3）=2ln24，h（4）=2ln35，又h（2）h（4），故f（x）+x23xa=0在区间2，4内恰有两个相异实根h（4）ah（3）即2ln35a0的x的取值区间；（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相
19、异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解28设函数f（x）=（xa）2lnx，aR（）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（）求实数a的取值范围，使得对任意的x（0，3e，恒有f（x）4e2成立注：e为自然对数的底数【答案】（I）求导得f（x）=2（xa）lnx+=（xa）（2lnx+1），因为x=e是f（x）的极值点，所以f（e）=0解得a=e或a=3e经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e，或a=3e（II）当0x1时，对于任意的实数a，恒有f（x）04e2成立当1x
20、3e时，由题意，首先有f（3e）=（3ea）2ln3e4e2，解得由（I）知f（x）=2（xa）lnx+=（xa）（2lnx+1），令h（x）=2lnx+1，则h（1）=1a0且h（3e）=2ln3e+12ln3e+1=2（ln3e）0又h（x）在（0，+）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+）内有唯一零点，记此零点为x0则1x03e，1x00，当x（x0，a）时，f（x）0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+）内是增函数所以要使得对任意的x（0，3e，恒有f（x）4e2成立只要有有h（x0）=2lnx0+1=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4
21、x02ln3x04e2又x01，注意到函数4x2ln3x在（1，+）上是增函数故1x0e再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+）上是增函数，可得10，得1xe；令f（x）0，得0x1，则函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，e，函数f（x）在x=1处取得极小值且极小值为1（2）由（1）f（x）=xlnx在（0，e上的最小值为f（1）=1，由，解得00当0a0）（）令F（x）=xf（x），讨论F（x）在（0+）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x+1【答案】（）根据求导法则有，故F（x）=xf（x）=x2lnx+2a，x0，
22、于是，知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F（2）=22ln2+2a（）证明：由a0知，F（x）的极小值F（2）=22ln2+2a0于是知，对一切x（0，+），恒有F（x）=xf（x）0从而当x0时，恒有f（x）0，故f（x）在（0，+）内单调增加所以当x1时，f（x）f（1）=0，即x1ln2x+2alnx0故当x1时，恒有xln2x2alnx+1【解析】考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值专题： 计算题；证明题分析： （1）先根据求导法求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）ln2x2a ln x+1，即证x1ln2x+2alnx0，也就是要证f（x）f（1），根据第一问的单调性即可证得31已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：【答案】（），故其定义域为， 令0，得，令0一定有解，又对称轴为1，因此只要即可， 由可得 综上所述，的取值范围为 （3）若时，方程可化为，问题转化为在上有解，即求函数的值域因为，令，则所以当，从而上为增函数，当，从而上为减函数， 因此而，故，因此当时，取得最大值0 第28页，总28页
