1、回扣3 导 数,考前回扣,基础回归,易错提醒,回归训练,1.导数的几何意义 (1)f(x0)的几何意义：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，该切线的方程为yf(x0)f(x0)(xx0). (2)切点的两大特征：在曲线yf(x)上；在切线上.,2.利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 求函数f(x)的定义域； 求导函数f(x)； 由f(x)0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f(x)0的解集确定函数f(x)的单调减区间.,(2)由函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f(x)0(xM)恒成立；若可导函数f(x)在区间M
2、上单调递减，则f(x)0(xM)恒成立； 若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集； 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集.,3.利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 确定函数的定义域； 解方程f(x)0； 判断f(x)在方程f(x)0的根x0两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点.,(2)求函数f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤 求函数yf(x)在a，b内的极值； 比较函数yf(x)
3、的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,4.定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质：,1.已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f(x)0(0)对x(a，b)恒成立，不能漏掉“”，且需验证“”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f(x)0(0)的解集为(a，b). 2.f(x)0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在xx0的两侧f(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.,答案,解析,1.a，b，c依次表示函数f(x)2xx2，g(x)3xx2，h(x)
4、ln xx2的零点，则a，b，c的大小顺序为 A.cba B.abc C.acb D.bac,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a，b，c为直线y2x分别与曲线y2x，y3x，yln x的交点横坐标，从图象可知，bac，故选D.,答案,解析,2.若曲线f(x)x44x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为 A.(1,2) B.(1，3) C.(1,0) D.(1,5),解析 对f(x)x44x，求导得f(x)4x34， 由在点A处的切线平行于x轴，可得4x340， 解得x1，即点A的坐标为(1，3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
5、,11,12,13,14,15,16,3.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D； 从适合f(x)0的点可以排除B，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,4.设曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为,1,2,3,4
6、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由f(x)exx，得f(x)ex1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由g(x)3ax2cos x，得g(x)3a2sin x， 又2sin x2,2， 所以3a2sin x23a,23a， 要使过曲线f(x)exx上任意一点的切线l1， 总存在过曲线g(x)3ax2cos x上一点处的切线l2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于 A.4 B.2 C.4 D.2,答
7、案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22. 当x(，2)，(2，)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x(2,2)时，f(x)0，f(x)单调递减， f(x)的极小值点为a2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 (特殊值法),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 (综合法),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1
8、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016全国)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(2)8e282.820，排除A； f(2)8e282.721，排除B； 在x0时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，,答案,解析,8.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于 A.11或18 B.11 C.18 D.17或18,1,2,3,4,5,6,
9、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(x)3x22axb， f(1)10，且f(1)0，,f(x)x34x211x16， f(2)18.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其
10、导函数为f(x)，当x0时，有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 018)2f(x2 018)4f(2)0的解集为 A.(，2 016) B.(2 016，2 012) C.(，2 018) D.(2 016,0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题观察联想可设g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)x2f(x)， 结合条件x0，2f(x)xf(x)x2， 得g(x)2xf(x)x2f(x)0，g(x)x2f(x)在(0，)上为增函数. 又f(x)为R上的奇函数，所以g(x)为奇函数， 所以g(x)在(，0)上为增函数. 由(x2
11、018)2f(x2 018)4f(2)0， 可得(x2 018)2f(x2 018)4f(2)， 即g(x2 018)g(2)， 所以x2 0182，故x2 016，故选A.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的 取值范围是_.,解析 f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0，得xa， 当aa或x0，函数单调递增. f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，
12、,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知曲线C：yf(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的 两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_.,解析 设切点坐标为(t，t3ata). 由题意知，f(x)3x2a， 切线的斜率为ky|xt3t2a， 所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt). 将点(1,0)代入式，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,
13、9,10,11,12,13,14,15,16,因此函数f(x)在0,1上单调递增， 所以当x0,1时，f(x)minf(0)1. 根据题意可知，存在x1,2， 使得g(x)x22ax41，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则若存在x1,2，使ah(x)成立， 只需使ah(x)min，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.设函数f(x)xekx (k0). (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,解 由题意可得f(x)(1kx)ekx， f(0)1，f(0)0， 故曲线yf(x)在
14、点(0，f(0)处的切线方程为xy0.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函数f(x)的单调区间；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)若函数f(x)在区间(1,1)上单调递增，求k的取值范围.,即0k1时，函数f(x)在区间(1,1)上单调递增；,函数f(x)在区间(1,1)上单调递增. 综上可知，当函数f(x)在区间(1,1)
15、上单调递增时， k的取值范围是1,0)(0,1.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求实数a的值；,因为a0，所以当x(，1)时，f(x)0， f(x) 在(，1)上单调递增； 当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若函数g(x)ln f(x)b有两个零点，求实数b的取值范围；,易得函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)1b， 依题意知，1b0，则b1， 所以实数b的取值范围是(，1
16、).,解 由题意知，函数g(x)ln f(x)bln xxb(x0)，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以k2xx20，即kx22x对任意x(0,2)都成立，从而k0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x(1,2)时，h(x)0，函数h(x)在(1,2)上单调递增， 同理，函数h(x)在(0,1)上单调递减， h(x)minh(1)e1. 依题意得kh(x)minh(1)e1， 综上所述，实数k的取值范围是0，e1).,
