线性代数_第5章_相似矩阵及二次型

1、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,定义, 向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：, 向量的长度,定义, 向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义, 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义, 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义, 方阵的特征值和特征向量, 有关特。

2、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,一、拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,。

3、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,定理1 对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,证明,它们的重数依次为,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得：,设 的互不相等的特征值为,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交。

4、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,说明,一、特征值与特征向量的概念,解,例1,例,解,解,得基础解系为：,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则,证明,证明,则,即,类推之，有,二、特征值和特征向量的性质,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的,. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为,解,。

5、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要。

6、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,一、相似矩阵与相似变换的概念,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,定理,证明,证明,三、利用相似变换将方阵对角化,命题得证.,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩。

7、第五章 相似矩阵及二次型 5.1 目的要求 1要理解 维实向量空间nnR 的基与向量关于基的坐标的概念，会求一组基到另外一组基的过渡矩阵，以及基变换后向量的坐标变换. 2 要熟悉 维欧式空间 nnR 中向量的内积运算及其性质， 会求向量长度与向量间的夹角. 3要理解标准正交基的概念，会用施密特正交化方法由一组基求一组标准正交基. 4要熟悉正交矩阵及其性质. 5理解实二次型与实对称矩阵间的一一对应关系；熟练掌握二次型的矩阵表示 ()Tf xxA= x，其中 . A=TA6熟悉矩阵A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7熟练掌握化二次型T。

8、线性代数 第五章相似矩阵及二次型 定义 向量内积的定义及运算规律 定义 向量的长度具有下列性质 向量的长度 定义 向量的夹角 所谓正交向量组 是指一组两两正交的非零向量 向量空间的基若是正交向量组 就称为正交基 定理 定义 正交向量组的性质。

9、第五章 相似矩阵及二次形,第二节 方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量：,说明,例1,解,练 习,解,例2,解,特征多项式为,下求齐次方程的通解（即特征向量）,下求齐次方程通解,练 习,解,特征多项式为,例3 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则,证明,证明,则,即,类推之，有,二、特征值和特征向量的性质,下求该齐次方程组的解,（由特征值各不相等）,从而，齐次方程只有零解。,注意,2.A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征。

10、 相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化 第三节相似矩阵 称为对A进行相似变换 设A B都是n阶方阵 若有可逆矩阵P 使 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 对A进行运算 。

11、第六节正定二次型 第六节实二次型的正定性 正 负 定二次型的判定 正 负 定二次型的概念 二次型的规范形及惯性定理 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有。

12、第四节实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵的相关结论 用正交矩阵P化实对称矩阵A为对角形矩阵的方法 实对称矩阵的特征根是实数 一 实对称矩阵的相关结论 定理 定理的意义由于实对称矩阵A的特征值是实数 所以实系数齐次线性方程组必有实的基础解系 从。

13、第五章相似矩阵与二次型 向量的内积 方阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的相似矩阵 相似矩阵 二次型及其正定二次型 向量的内积 一 向量的内积与长度 定义 设有n维向量 记 则 x y 称为向量x与y的内积 注意 1 按矩阵乘法有 2 内积就。

14、特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法 第二节方阵的特征值与特征向量 成立 的特征向量 一 方阵的特征值与特征向量 定义 特征向量非零 注意 如对 及 则数 是方阵A特征值 是方阵A的对应于特征值2的特征向量 有。

15、2019/6/16,线性代数课件,线 性 代 数,2019/6/16,线性代数课件,第五章 相似矩阵及二次型,2019/6/16,线性代数课件,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,2019/6/16,线性代数课件,证明,充分性,故,三、正(。

16、2020 4 7 线性代数课件 线性代数 2020 4 7 线性代数课件 第五章相似矩阵及二次型 2020 4 7 线性代数课件 说明 一 特征值与特征向量的概念 2020 4 7 线性代数课件 2020 4 7 线性代数课件 2020 4。

17、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵.,说明,用正交变换化二次型为标准。

18、 5-1向量的内积与方阵的特征值 1设为矩阵的特征值，且，则为 的特征值。 2设为阶实对称阵，为的不同特征值对应的特征向量，则 。 与线性相关； 与线性无关； 3设都为阶矩阵的特征值，且分别为对应于的特征向量，则当 满足时，必为的特征向量。 且； 且； 且； 4设阶方阵的特征值全不为零，则 。 5.设矩阵,求A的特征值及特征向量。

19、2019/6/16,线性代数课件,线 性 代 数,2019/6/16,线性代数课件,第五章 相似矩阵及二次型,2019/6/16,线性代数课件,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,2019/6/16,线性代数课件,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,2019/6/16,线性代数课件,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2019/6/16,线性代数课件,2用矩阵表示,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与。

20、,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,-2-,n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.,5.1 向量的内积、长度及正交性,引言,我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.,在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积,-3-,内积,一、内积的定。