1、第五章相似矩阵与二次型 向量的内积 方阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的相似矩阵 相似矩阵 二次型及其正定二次型 向量的内积 一 向量的内积与长度 定义 设有n维向量 记 则 x y 称为向量x与y的内积 注意 1 按矩阵乘法有 2 内积就是几何向量的数量积之推广 内积具有下列运算性质 设x y z为n维向量 为实数 则有 对称性 线性性 正定性 定义 为n维向量x的长度 记 则称 称x为单位向量 特别地 设有n维向量 或模 或范数 例如4维向量 的长度为 为单位向量 而向量 向量的长度有下述性质 1 非负性 3 三角不等式 2 齐次性 另外 由向量的内积 长度及其性质不难证明下述施瓦茨不等式
2、 式中的等号仅当向量 线性相关时才成立 定义 则称 为n维向量x与y的夹角 由上述施瓦茨不等式易得 于是有下面的定义 二 两向量的夹角 记 例已知4维向量 求 向量 的夹角 解 故所求向量的夹角为 三 标准正交基 定义 称向量x与y正交 显然 零向量与任何向量正交 定义 一组两两正交的非零向量 叫正交向量组 如上述例1中的向量 就正交 线性无关 定理如果n维向量 为正交向量组 左乘上式两端 得 类似可证 证明 若向量空间V的一组基中向量两两正交 定义 则称这组基为向量空间V的正交基 特别地 由单位向量组成的正交基叫做标准正交基 或规范正交基 例如 是空间的标准正交基 一般地 向量空间的一个基不
3、一定是规范正交基 由向量空间V的一个基 求其一个 规范正交基 就是要找一组两两正交的单位向量 上述问题称为把 这个基规范正交化 具体操作方法如下 如此归纳下去有 把基化成标准正交基的具体步骤 四 施密特正交化方法 先正交化 再标准化 单位化 是向量空间V的标准正交基 例试把下列向量组化为标准正交向量组 解令 单位化得 解 再把它们单位化 取 五 正交矩阵与正交变换 若n阶方阵A是满足 则称A是正交矩阵 定义 故有 方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量组构成标准正交向量组 则上述结论对A的行向量组也成立 例如 矩阵P是正交矩阵 称为正交变换 若P是正交矩阵 则线性变换y Px 定义 内积 向量的长度 小结 x y 向量正交 两向量的夹角 施密特正交化方法 证明对称矩阵A为正交矩阵的充要条件是 证明先证必要性 可知 再证充分性 可知 故A为正交矩阵 练习 正交变换有何特性 保持向量的长度不变
