线性代数-第七章二次型

1、2019/6/16,线性代数课件,线 性 代 数,2019/6/16,线性代数课件,第五章 相似矩阵及二次型,2019/6/16,线性代数课件,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,2019/6/16,线性代数课件,证明,充分性,故,三、正(。

2、1 1向量的内积 一 向量内积的定义和性质 二 向量的长度和性质 三 向量的正交性及其性质 2 n维列向量 定义1 一 向量内积的定义和性质 1 向量内积的定义 3 注意 4 2 性质 例 5 定义2 称为长度 或范数 性质1 性质2 性质。

3、线性代数 第五章相似矩阵及二次型 定义 向量内积的定义及运算规律 定义 向量的长度具有下列性质 向量的长度 定义 向量的夹角 所谓正交向量组 是指一组两两正交的非零向量 向量空间的基若是正交向量组 就称为正交基 定理 定义 正交向量组的性质。

4、2020 4 7 线性代数课件 线性代数 2020 4 7 线性代数课件 第五章相似矩阵及二次型 2020 4 7 线性代数课件 说明 一 特征值与特征向量的概念 2020 4 7 线性代数课件 2020 4 7 线性代数课件 2020 4。

5、2019/6/16,线性代数课件,线 性 代 数,2019/6/16,线性代数课件,第五章 相似矩阵及二次型,2019/6/16,线性代数课件,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,2019/6/16,线性代数课件,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,2019/6/16,线性代数课件,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2019/6/16,线性代数课件,2用矩阵表示,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与。

6、 相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化 第三节相似矩阵 称为对A进行相似变换 设A B都是n阶方阵 若有可逆矩阵P 使 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 对A进行运算 。

7、第六节正定二次型 第六节实二次型的正定性 正 负 定二次型的判定 正 负 定二次型的概念 二次型的规范形及惯性定理 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有。

8、第五章相似矩阵与二次型 向量的内积 方阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的相似矩阵 相似矩阵 二次型及其正定二次型 向量的内积 一 向量的内积与长度 定义 设有n维向量 记 则 x y 称为向量x与y的内积 注意 1 按矩阵乘法有 2 内积就。

9、特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法 第二节方阵的特征值与特征向量 成立 的特征向量 一 方阵的特征值与特征向量 定义 特征向量非零 注意 如对 及 则数 是方阵A特征值 是方阵A的对应于特征值2的特征向量 有。

10、第四节实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵的相关结论 用正交矩阵P化实对称矩阵A为对角形矩阵的方法 实对称矩阵的特征根是实数 一 实对称矩阵的相关结论 定理 定理的意义由于实对称矩阵A的特征值是实数 所以实系数齐次线性方程组必有实的基础解系 从。

11、1 5二次型及其标准形 三 用配方法化二次型为标准形 二 二次型在可逆变换下的变化情况 一 二次型的矩阵表示 2 例 有心二次曲线方程 可取适当的转轴变换 方程 可化成标准方程 一 二次型的矩阵表示 3 特点 1 变换阵 2 可逆变换不改变。

12、1,6 正定二次型,一、惯性定理,二、正定二次型的概念,三、正定二次型的判断法,2,定理十一. (惯性定理),二次型,经可逆变换 X = PY 及 X = CZ , 使,及,正数个数为b, 则,一、惯性定理,3,二、正定二次型的概念,定义12. 二次型,若对任意 X 0,则称 f 为正定的.,若对任意 X 0,则称 f 为负定的.,4, (根据标准形判别),f 的标准形的n个系数全为正.,三、正定二次型的判断法,5,因为 C 是可逆矩阵,故,即二次型为正定的.,再证必要性.,用反证法. 假设有 ks0 ,则当 y = es 时，,其中es 是第 s 个分量为 1 其余分量都为 0 的 n 维向量.,这与 f 为正定相矛盾,。

13、,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,-2-,n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.,5.1 向量的内积、长度及正交性,引言,我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.,在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积,-3-,内积,一、内积的定。

14、1 三 惯性定理和规范形 四 正定二次型 一 二次型及其矩阵表示 二 二次型的标准形 第六章二次型 2 一 二次型及其矩阵表示 1 二次型 二次型的矩阵 二次型的秩 1 二次型 二次型的矩阵 秩2 非退化线性变换3 矩阵的合同 称为二次型 1 3 我们仅讨论实二次型 实二次型 为实数 复二次型 为复数 例如 都是二次型 不是二次型 4 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 例如 都为二。

15、第6章 二次型,6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵,其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。,定义6.1 n元变量x1,x2,xn的二次齐次多项式,犊基群庐蓖壳鹰粟焦呕贫署犯呵忠讣樱羊歹揭帐极敢哇纠涣斟哮噬土唉缎线性代数居余马第6章 二次型线性代数居余马第6章 二次型,如果令aji = aij (1ijn) ，则上式可以表示为,型怎谜机阴咀卿抖修寂怀艇疤仰器卉挫茫注壁伎烯通划象罢进黑婉樱棠盔线性代数居余马第6章 二次型线性代数居余马第6章 二次型,其中 x=(x1,x2,xn)TRn， A=(aij)nn 是实对称。

16、第五章,二次型,第五章 二次型,1 二次型及其标准形,2 用合同变换化二次型为标准型,3 用正交变换化二次型为标准型,4 二次型的分类,1 二次型及其标准形,一、二次型的概念及矩阵表示,二、非退化的线性交换,三、用配方法化二次型为标准形,一、二次型的概念及矩阵表示,考虑方程,在平面上代表什么曲线？,(1),将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45,即令,(2),则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程：,(3),从而曲线为一椭圆。,o,定义 1,将 n 元二次齐次式,称为 n 元二次型。,二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。。

17、1,1,1,第六章 二次型 1 二次型及其矩阵(对称矩阵) 2 化二次型为标准形(配方法和正交矩阵法) 3 化二次型为规范形和惯性定理 4 正定矩阵,跑逐仆箕岂韧柿睦叶凤序笆羡异邓普帘颊吨探瑞嗜鞘贮烁吧政蔬刃缠任要线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型,2,2,2,平面解析几何中，,确定一条二次曲线，为了研究二次曲线的性质，通过坐标变换消去交叉项，化为标准形,函数的研究中，需要用线性函数和二次型逼近：,函数的一些性质依赖 的性质.,互巴丙痘敏耕纲依术吊廉伤妮诌秒坍滓翟老浙冲榨镶隆叔汇钧十乐峙靶香线性代数第6章二次型线性代数第6章二次。