1、2019/6/16,线性代数课件,线 性 代 数,2019/6/16,线性代数课件,第五章 相似矩阵及二次型,2019/6/16,线性代数课件,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,2019/6/16,线性代数课件,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,2019/6/16,线性代数课件,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2019/6/16,线性代数课件,2用矩阵表示,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，
2、二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,2019/6/16,线性代数课件,解,例,2019/6/16,线性代数课件,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,2019/6/16,线性代数课件,证明,即 为对称矩阵.,2019/6/16,线性代数课件,说明,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,2019/6/16,线性代数课件,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,2019/6/16,线性代数课件,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组
3、,2019/6/16,线性代数课件,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,2019/6/16,线性代数课件,于是所求正交变换为,2019/6/16,线性代数课件,解,例3,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,五、小结,1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种 方法拉格朗日配方法,2019/6/16,线性代数课件,思考题,2019/6/16,线性代数课件,思考题解答,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,
