微分方程数值解II

1、1偏微分方程数值解上机实习数值求解二维扩散方程的初边值问题22(,0)sini(1,),utxyyttu (0,10),()01,0xytytx古典显式格式：1,1,1,1,22nnnnjljljljljljljljluuhh将原格式化为： 1 2,1,1,1,1,(4)/nnnnnjljljljljl jlu h中附源程序：%-运用古典显式差分格式求解二维扩散方程的初边值问题;function gdxs(ti,h,t)%-ti:时间步长;%-h:空间步长;k=t/ti;m=1/h+1;r=ti/h2; %- r 为网格比;w=ones(m,m);u=ones(m,m);for i=2:m-1for j=2。

2、微分方程数值解法课程设计报告班级： _ 姓名： _ 学号： _ 成绩： 2017 年 6 月 21 日 摘 要自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。 ，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、RungeKutta 方法、Adams 法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体的算例，结合 MATLAB 。

3、1微分方程初值问题数值解习题课2一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分 20xtyed所确定的函数 y 在点 x =0.5,1.0,1.5 的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题 2(0)xye其中 h=0.5。其向前欧拉格式 为 2()10ihiiye3改进欧拉格式为 2()2(1)10ihihiiyee将两种计算格式所得结果列于下表 iix向前欧拉法 iy改进欧拉法 iy0 0 0 01 0.5 0.5 0.444702 1.0 0.88940 0.731373 1.5 1.07334 0.849694二、应用 4 阶 4 步阿达姆斯显格式求解初值问题1(0)yxy0.6x取步长 h=0.1.解：4 步显式法必须有 4 个起步值， 已知，其他 30y个 用 4 阶。

4、数值分析第四次上机练习实验报告常微分方程数值解实验题一、 问题的描述考虑一下问题：；209.7510.25,dutvttv初试条件为 ， 。其精确解为0u2；0.520.5. .1.498749871t tt tteev请分别用古典四级四阶显式Runge-Kutta方法和隐式二级四阶Runge-Kutta方法计算，计算区间取成 ，0,2并与精确解比较。二、 方法描述Runge-Kutta 方法是采用不同点上函数值的不同组合来提高方法的精度。又避免了函数 f 的偏导数计算。a) 古典四级四阶显式 Runge-Kutta 方法古典四级四阶显式 Runge-Kutta 方法相应的计算格式为 112342 13 243,6,nnnnyhkkkfxykfxhkyb)。

5、微分方程的定性分析及其数值解解析解和数值解硫黄岛战役的数学模型蛛网模型,4 . 数学软件求解微分方程的近似解 Mathematical 中 d s o l v e命令 Matlab中的ode45 5.高阶微分方程与微分方程组的转化例 y + 2t y+ sint y = cost令z1 = y , z2 = y ，等价于方程组：z1= z2,z2=cost-2t z2 - sint z1一般地y (n)+ a1(t) y (n-1)+ an-1(t) y+ an(t) y = f(t) 令z1 = y , z2 = y ， zn-1 = y (n-1) ，等价与微分方程组： z1= z2, z2= z3, zn-2= zn-1, zn-1= f(t) - a1(t) zn-1 - an-1(t) z2 - an(t) z1 利用微分方程的数值解可求得高阶微分方程。

6、微分方程练习 练习1 求解范德堡 vander pol 方程 练习2 单摆运动 图4 3中一根长的细线 一端固定 另一端悬挂质量为 的小球 在重力作用下 小球处于竖直的平衡位置 现使 小球偏离平衡位置一个小的角度 然后使其自由运动 在不 考虑空气阻力情形下 小球将沿弧线作周期一定的简谐运动 为平衡位置 在小球摆动过程中 当与平衡位置夹 角为时 小球所受重力在其动运轨迹的分量为 负号表示力的方向使减。

7、1东南大学数学实验报告实验内容：差分方程及微分方程数值解一 实验目的熟悉迭代法及微分方程数值方法二 预备知识（1）了解差分方程稳定性、周期分解、混沌等相关知识（2）了解欧拉方法、龙格-库特方法。三 实验内容与要求（一）Volterra 方程数值解方程 0,dcbaxycdty其中a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.04.2)0(,5)(yx命令与结果在函数编辑器中输入：function dxdt = euler( t,x )dxdt= x(1)*(1-0.1*x(2) x(2)*(-0.5+0.02*x(1);end四阶龙格-库塔公式：在命令窗口中输入：tspan=0 15;x0=25;2;t,x=ode45(euler,tspan,x0);plot(t,x(:,1),r-,LineWidth,0.。

8、/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,第9章 常微分方程数值解,1 引言,2 欧拉方法,/* Eulers Method */, 欧拉公式：, 欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具。

9、偏微分方程的数值解 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。将只含有一元函数及其导数的方程，称常微分方程。将只含有多元元函数及其偏导数的方程，称常微分方程。,1、偏微分方程的基本概念 2、偏微分方程数值解的差分方法 3、偏微分方程数值解的有限元方法,一、 偏微分方程的基本概念 1、椭圆型方程（位势方程） 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。,2、抛物型方程（热传导方程） 在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程,3、双曲型方程。

10、第一章 概 述11 偏微分方程工具箱的功能偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。PDE Toolbox 的功能包括：(1) 设置 PDE (偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；(2) 用有限元法 (FEM) 求解 PDE 数值解；(3) 解的可视化。无论是高级研究人员还是初学者，在使用 PDE Too1box 时都会感到非常方便。只要 PDE 定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB 后，在 MATLAB 工作空间的命令行中键人 pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)。

11、120第 7 章 常微分方程初值问题数值解法本章探讨常微分方程特解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍求常微分方程初值问题的常用方法和有关知识。重点论述 Euler 方法、 Runge-Kutta 方法和线性多步法的原理、构造、局部截断误差和稳定性等内容。1217.1 实际案例工程技术里某些振动问题可以表示为单摆的运动，其运 动规律的微分方程为： sin0(0)3gl怎样求出其特解 ？()t该微分。

12、实验4 常微分方程的数值解 实验目的 1 掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法 2 通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题 3 了解欧拉方法和龙格 库塔方法的基本思想和计算公式 及稳定性等概念 实验内容 题3 小型火箭初始重量为1400kg 其中包括1080kg燃料 火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg s 由此产生32000N的推力 火箭引擎在燃料用尽时关闭 设火箭上升时空气。

13、宋玉霞 2008050216 统数 信科 0802实验一_2:Adams 方法一、实验题目：01.)(2yx取步长 h二、实验要求：用 Adams 公式 ，求此微分方程在0，10上的)3(211nnfhy数值解，并与精确解进行比较。三、程序运行结果结果：y =Columns 1 through 110 0.0100 0.0400 0.0900 0.1600 0.2500 0.3600 0.4900 0.6400 0.8100 1.0000Columns 12 through 221.2100 1.4400 1.6900 1.9600 2.2500 2.5600 2.8900 3.2400 3.6100 4.0000 4.4100Columns 23 through 334.8400 5.2900 5.7600 6.2500 6.7600 7.2900 7.8400 8.4100 9.0000 9.6100 10.2400Columns 34 throu。

14、问题 1：求 满足初始条件 的符4290yy(0),()15y号解。在文本框中输入：s=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)运行得：s =3*exp(-2*x)*sin(5*x)问题 2：求解微分方程 .先求符号解,2,(0)2,104(1ytt再求数值解, 并作图进行比较.在文本框中输入： s=dsolve(Dy=(y2-t-2)/(4*(t+1),y(0)=2)运行得：s =1+(t+1)(1/2)所以求得符号解 s =1+(t+1)(1/2)为了求数值解,先编写 M-文件 fun.m在文本框中输入：function y=fun(t,y)y=(y2-t-2)/(4*(t+1);保存，再运行新命令，在文本框中输入：clear;close;t=0:10;y=1+(t+1).(1/2);plot(t,y) %画符号解的。

15、一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程未知函数是一元函数的，叫常微分方程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程,常微分方程的数值解,如,数值解的龙格库塔方法,龙格库塔方法的一般形式,其中,t,x=ode23(f,ts,x0,options,p1,p2,) t,x=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,)function dx=f(t,x) dx=f1;f2;fn,Matlab实现,options=odeset(reltol, rt, abstol , at) 默认时rt=10-3,at=10-6,Matlab实现,食饵捕食者模型,表示时刻 食饵的密度， 表示捕食者的密度；表示食饵独立生存时的增长率；表示捕食者独立生存。

16、微分方程数值解,陈文斌 Multigrid,Euler方法,考虑常微分方程：,Euler方法的三种解释,数值微分：用差商来代替导数 数值积分：把微分方程变成积分方程 幂级数展开：将u(t+h) 在t 做Taylor展开,单步方法和多步方法,单步方法：利用h,tm和um即可算出um+1 多步方法：要用到h, tm, tm+1, tm+k-1和um, um+1, um+k-1才能求出。

17、第八章 常微分方程数值解姓名 学号 班级 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的 讨论， 线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 1,0)0(2xy的数值解（取步长 ） ，并与精确解作比较。 （改进的尤拉公式的应用）.h解：原方程可转化为 ，令 ，有xy2 2yzxzd2解此一阶线性微分方程，可得 。1利用以下公式 )4,321,0()(212.0)(. iyyxyycpi piic iiip求在节点 处的数值解 ，其中，初值为 。)5,432(.0ixi iy1,0yxMATLAB 程序如下：x(1)=0;%初值节点y(1)=1;%初值fprintf(x(%d)=%f,y(%d)=%f,。

18、1微分方程数值解及其应用绪论自然界中的许多事物的运动和变化规律都可以用微分方程来描述，因此对工程和科学技术中的实际问题的研究中, 常常需要求解微分方程但往往只有少数较简单和典型的微分方程可求出其解析解，在大多数情况下,只能用近似法求解，数值解法是一类重要的近似方法本文主要讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法，探讨这些算法在处理来自生活实际问题中的应用，并结合MATLAB软件，动手编程予以解决 微分方程的初值问题 11.1 预备知识在对生活实际问题的研究中，通常需要考虑一阶微分方程的初值问题（1）0(,)dyfx这里 是。

19、微分方程数值解 II2010.1.6第 8 周起，复习题1. 设 ， 。利用 三点，构造最高精度的111,iiiii xhxhiih),(1iix逼近于 的差分逼近式。iiu2及2. 试分析逼近于线性对流方程 的蛙跳格式0xuct的局部截断误差（精度） ，并用 Fourier 稳定性分析方法，22n11nxuctuiiii分析稳定性。设常数 。03. 对于热传导方程 ，有差分格式 ，试2xtn1112UUnnjjjjjtx分析精度和稳定性。4. 已知对流方程 ，(1) 试分析特征线的形状；（2）利用网格点02qt构造差分格式；（3）分析所得格式的局部截断误差及),),),11ninini txxt及 （稳定性。5. 对于线性对流方程 ,有中。