1、1东南大学数学实验报告实验内容：差分方程及微分方程数值解一 实验目的熟悉迭代法及微分方程数值方法二 预备知识（1）了解差分方程稳定性、周期分解、混沌等相关知识（2）了解欧拉方法、龙格-库特方法。三 实验内容与要求（一）Volterra 方程数值解方程 0,dcbaxycdty其中a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.04.2)0(,5)(yx命令与结果在函数编辑器中输入：function dxdt = euler( t,x )dxdt= x(1)*(1-0.1*x(2) x(2)*(-0.5+0.02*x(1);end四阶龙格-库塔公式：在命令窗口中输入：tspan=0 15;x0=25;2
2、;t,x=ode45(euler,tspan,x0);plot(t,x(:,1),r-,LineWidth,0.5);hold on;plot(t,x(:,2),g-,LineWidth,0.5);hold on;（1） 相图四阶龙格-库塔公式：2axis(0 15 0 125)legend(x(1),x(2)grid ontitle(The Numerical Solution Of Calculable way of fourth rank Rounge-kutt)plot(x(:,1),x(:,2)欧拉方法：在命令窗口中输入：tspan=0 15;x0=25;2;t,x=ode23(eu
3、ler,tspan,x0);plot(t,x(:,1),r-,LineWidth,0.5);hold on;plot(t,x(:,2),g-,LineWidth,0.5);hold on;axis(0 15 0 125)legend(x(1),x(2)grid ontitle(The Numerical Solution Of Euler Equation) plot(x(:,1),x(:,2)欧拉公式：（2） 轨线图四/五阶龙格-库塔公式：3欧拉公式：（2）差分阻滞增长模型在 t 时刻单位时间内的人口数量的变化量仅仅与此时的人口数量 x 有关(等于右边的值),其)1()(Nxrtx4中的 r
4、 表示人口的固有增长率,N 表示能容纳的最大人口数 .经过 单位时间，即一个繁殖周期的种群数量的增长量仅仅与前一个时期的种群数量有关。于是模型为即这是一个一阶非线性差分方程.对于给定的初值,我们可以从这个递推公式运用计算机很容易地计算出一些 xk.这是在计算机出现以后的一个新的特点.但是我们更关心的是当时间趋于无穷时,即 k 趋于无穷时, xk 的极限如何，即差分方程平衡点的稳定性问题。求得差分方程(2)的平衡点为 0 和(b-1)/b.它们分别对应于差分方程(1)的平衡点 0 和 N.我们将这个差分方程(2)在平衡点附近展开,有 kkbxxx1:上注意到 b=1+r1,平衡点 0 是不稳定的
5、. *)(2*)(*:1*1 xbb kkk 略去高阶项得 )(21 xbxkk因此当|2-b|1 即 b3 时,平衡点 x*是不稳定的.（1）稳定情况（ ）b=1.6,2b.6 b=2.(1) ,21),1(1 kNyrykk )( ,0),()(1rrkk 上上上上 )1(,.)( NrbNrykk )(k5稳定性分析b=1.6,在 1 到 3 范围之间稳定命令与结果（ 图）()nxfunction x=block(b,x0)b=1.6;if nargin2x0=0.5;endx=x0;n=1:10000;for i=2:10000x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);endpl
6、ot(n,x,.);end结果 图：()nx稳定性分析b=2.2,在 1 到 3 范围之间稳定命令与结果（ 图）()nxfunction x=block(b,x0)b=2.2;if nargin2 x0=0.5;endx=x0;n=1:10000;for i=2:10000 x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(n,x,.);end结果 图：()nx（2）不稳定情况b=3. b=3.66稳定性分析b=3.3 在 1 到 3 范围之间不稳定命令与结果（ 图）()nx稳定性分析b=3.63 在 1 到 3 范围之间不稳定命令与结果（ 图）()nx（3）倍周期分解b=. b
7、=3.5（1） 求稳定平衡点可得两个平衡点：0.4794 0.8236程序：function x=block(b,x0)b=3.3;if nargin2x0=0.5;endx=x0;n=1:100;for i=2:100x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);end（2） 数值结果ans =Columns 1 through 160.5000 0.8250 0.4764 0.8232 0.4804 0.8237 0.4792 0.8236 0.4795 0.8236 0.4794 0.8236 （1）求稳定平衡点四个平衡点：0.5009 0.8750 0.3828 0.8269程序：f
8、unction x=block(b,x0)b=3.5;if nargin2x0=0.5;endx=x0;n=1:100;for i=2:100x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);end（2）数值结果ans =Columns 1 through 160.5000 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 70.4794 0.8236 0.4794 0.8236Columns 17 through 320.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.82360.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269Columns 17 through 320.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269
