1、微分方程的定性分析及其数值解解析解和数值解硫黄岛战役的数学模型蛛网模型,4 . 数学软件求解微分方程的近似解 Mathematical 中 d s o l v e命令 Matlab中的ode45 5.高阶微分方程与微分方程组的转化例 y + 2t y+ sint y = cost令z1 = y , z2 = y ，等价于方程组：z1= z2,z2=cost-2t z2 - sint z1一般地y (n)+ a1(t) y (n-1)+ an-1(t) y+ an(t) y = f(t) 令z1 = y , z2 = y ， zn-1 = y (n-1) ，等价与微分方程组： z1= z2, z
2、2= z3, zn-2= zn-1, zn-1= f(t) - a1(t) zn-1 - an-1(t) z2 - an(t) z1 利用微分方程的数值解可求得高阶微分方程的解。,硫黄岛战役模型及检验硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是二战时期日军的重要 空军基地。1945年2月19日，美军开始进攻，激烈的战斗持了一 个月，双方伤亡惨重，日军守军21，500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73，000人，伤亡20，256人，战斗进行到第36天停止。美军保存了按天统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。下面通过建立数学模型，得到理论上的日军人数和美军人数变化情况，并
3、美军人数与实际情况作对比，即进行模型检验。设 x(t)-美军在第t天人数，y(t)-日军在第t天的人数u(t)-美军在第t 天的增援率，则按正规作战模型有dx/dt= -ay(t)+u(t) , dy/dt=-bx(t)x(0)=0,y(0)=21,500, 转化为差分方程： xi - xi-1 = -ayi-1 +ui-1 ， yi - yi-1 = -bxi-1 ,x0 =0 , y0 =21500， ui 已知 。,即得递推公式： xi = xi-1 -ayi-1 +ui-1 ， （1）yi = yi-1 -bxi-1 , （2） x0 =0 , y0 =21500， ui 已知 利用战地记录计算出a,b: 由（1） a=0.0544由（2）b=0.0106 代入（1）（2）其所得结果与实际情况较吻合（略）。,
