1、微分方程数值解,陈文斌 Multigrid,Euler方法,考虑常微分方程：,Euler方法的三种解释,数值微分：用差商来代替导数 数值积分：把微分方程变成积分方程 幂级数展开：将u(t+h) 在t 做Taylor展开,单步方法和多步方法,单步方法：利用h,tm和um即可算出um+1 多步方法：要用到h, tm, tm+1, tm+k-1和um, um+1, um+k-1才能求出 um+k,显式和隐式方法,显式格式：um+1通过递推可以直接求得 隐式格式： um+1需要求解代数方程才能求得，例如改进的Euler方法,局部截断误差和整体截断误差,局部截断误差Rm：假设第m步精确计算的前提下，计算
2、解um+1和精确解u(tm+1)的误差 整体截断误差 :在考虑误差累积的效应下，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差,相容性和相容的阶,q阶相容:若一个离散变量方法的局部截断误差对任意m满足：,收敛性与收敛的阶,收敛：对任意的 ，成立 若此时，整体截断误差满足 则称方法的收敛阶为p, 简称为p阶的,稳定性,方法稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例，即为存在常数C和h00,使得当 时 这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指 情况下的稳定性。,绝对稳定性,绝对稳定性指对某类模型问题，对固定的 ,当 时计算是稳定的。 复平面上所有这样的 组成的区域称为这个方法绝对稳定区域,
3、高阶单步方法-Taylor级数法,高阶单步方法Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法例,中点法（修正的Euler法）：二阶方法 古典四阶Runge-Kutta方法,Adams方法,考虑微分方程的积分形式 用f的k次Lagrange插值多项式来代替f,Adams-bashforth外插方法,在积分方程中取 可得计算格式,Adams-Moulton内插方法,类似取 ，可以得到 注：这里的t在插值点的内部，所以叫内插方法,Gear方法,类似Adams方法，如果用多项式来逼近u，则可以得到Gear方法,线性k步方法,结合上面的Adams方法和Gear方法，我们可以有更一般的方法 如果需
4、要q阶相容，用Taylor方法容易知道,在线性多步方法中 最高阶的两步方法四阶两步方法(Milne),线性多步方法,线性多步方法的性态分析,收敛性： 相容性：计算格式的误差 稳定性：计算解对初始扰动的连续依赖性 绝对稳定性：对线性问题稳定的最大步长,线性多步方法相容的充要条件,定义第一特征多项式为 定义第二特征多项式为 相容的充要条件,例：相容不收敛,例：相容不收敛（续）,例：相容不收敛（续）,线性多步方法的稳定性,定理：线性多步方法稳定充要条件是 满足根条件，即 的所有根均在复平面的单位园内，且在单位园周上的根为单根。,相容+稳定=收敛,收敛的线性多步方法必定相容并且稳定 相容且稳定，初始值 的线性多步方法必定收敛。若方法是q阶相容，且 , 则方法是q阶收敛,绝对稳定性,考虑试验方程 记 ，用线性多步法有 其稳定的条件是特征多项式的满足根条件,绝对稳定性,对指定的 ，如果特征多项式的根 按模都小于1，则称线性多步方法关于此 绝对稳定，所有这样的 组成的集合称为该方法的绝对稳定区域 利用边界轨迹法可以求得绝对稳定区域。,
