1、偏微分方程的数值解 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。将只含有一元函数及其导数的方程，称常微分方程。将只含有多元元函数及其偏导数的方程，称常微分方程。,1、偏微分方程的基本概念 2、偏微分方程数值解的差分方法 3、偏微分方程数值解的有限元方法,一、 偏微分方程的基本概念 1、椭圆型方程（位势方程） 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。,2、抛物型方程（热传导方程） 在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程,3、双曲型方程（振动方程） 描述琴弦的振动，鼓面的振动等现象的时候往往会出现双曲型方程。,二、偏微
2、分方程的差分方法 基本思想：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （i）选取网格； （ii）对微分方程及定解条件（内点与边界点）选择差分近似，列出差分格式； （iii）差分格式解的存在唯一性，求解差分格式； （iv）
3、讨论差分格式对于微分方程解的收敛性及误差估计。,建立差分格式的两种基本方法 1、用差商代替导数 2、积分插值方法,a、椭圆型方程差分解法 以Poisson方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 Poisson方程的第一边值问题,取 分别为x方向和y方向的步长，以两族平行线 将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为 。定解区域内部的节点称为内点，记内点集为 。边界与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为 。与节点沿x方向或y方向只差一个步长的点和称为节点的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于区域和边界，称为正则内点，正则内点的全体记为 ，至少有一个相邻节点不属于的内点称为非正则内点，非
4、正则内点的全体记为 。我们的问题是要求出边値问题在全体内点上的数值解。,所给出的差分格式称为五点菱形格式，实际计算时经常取 ，此时五点菱形格式可化为,b、抛物型方程的差分解法,其次需对定解条件进行离散化。 对初始条件及第一类边界条件，可直接得到,对第二、三类边界条件则需用差商近似 。通常有两种方法 （i）在左边界处用向前差商近似偏导数，在右边界处用向后差商近似偏导数，即,（ii）用中心差商近似，即,课堂练习 建立双曲型方程的一些差分格式,用积分插值法构造差分格式 用差商代替导数来构造差分格式是最基本的方法，用积分插值法构造差分格式有很多的优点，比如对表示某守恒律的微分方程用积分插值法构造的差分
5、格式任然保持该物理量的守恒定律。而且，很多时候构造的系数矩阵对方程组的求解更方便。,三、偏微分方程的有限元方法 差分法通常采取直交网格，很难适应区域形状的任意性，不易编制通用的计算软件，有限元方法可以用多种多样的网格对区域多剖分，可以根据解的性质疏密有致的布置节点，可以适应各种形状的区域。,Matlab解法 Matlab中的偏微分方程（PDE）工具箱是用有限元法寻求典型偏微分方程的数值近似解，该工具箱求解偏微分方程具体步骤与用有限元方法求解偏微分方程的过程是一致的，包括几个步骤，即几何描述、边界条件描述、偏微分方程类型选择、有限元划分计算网格、初始化条件输入，最后给出偏微分方程的数值解（包括画图）。,
