齐次线性方程组解的结构

1、 3 4线性方程组的解 我们知道 n未知数m个方程的线性方程组 可以写成Ax b 其中A aij x x1 x2 xn T b b1 b2 bm T 矩阵B Ab 称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它。

2、 6非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 1 如果u1是Ax b的一个解 v1是Ax 0的一个解 则u1 v1也是Ax b的解 证 Au1 b Av1 0 故A u1 v1 Au1 Av1 b 。

3、线性代数课件 hty,1,3.6 线性方程组解的结构,线性代数课件 hty,2,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,线性代数课件 hty,3,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,线性代数课件 hty,4,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程(2)的解,线性代数课件 hty,5,齐次线性方程组解的性质,证明,线性代数课件 hty,6,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空。

4、4.2 非齐次线性方程组,线性代数,4.2.1非齐次线性方程组有解条件,设n元线性方程组为,记,，,利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：Ax=b, 其中A为线性方程组的系数矩阵，称x为未知列向量，b为右端常向量。分块矩阵（A,b)称为Ax=b的增广矩阵，它是 矩阵。有时，就直接用（A,b）代表非齐次线性方程组Ax=b.满足 的n维列向量 称为 的解向量，可简称为它的解。,证明,非齐次线性方程组解的性质,4.2.2非齐次线性方程组解的结构,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐。

5、4.3 非齐次线性方程组,主要内容： 1、非齐次线性方程组有解的条件 2、非齐次线性方程组的通解,对于非齐次线性方程组,(4.7),它的系数矩阵为,增广矩阵为,(4.7) 对应的齐次方程组为,(4.8),方程组(4.7)写成向量的形式为,1、非齐次线性方程组有解的条件,从方程组（4.7）的向量形式不难看到：,定理4.5 对于非齐次线性方程组(4.7)下列结论成立: (1) 方程组(4.7) 。

6、一、齐次线性方程组解的结构,二、一般线性方程组解的结构,3.6 线性方程组解的结构,三、练习,齐次线性方程组非零解的存在性,定理1.,AX=0有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩r(A)n,推论1.,AX=0只有零解的充要条件是r(A)=n,推论2.,方程个数m小于未知量个数n时,AX=0必有非零解;,当m=n时,AX=0有非零解的充要条件是|A|=0.,推论3.,当m=n时,AX=0只有零解的充要条件是|A|0.,一、 齐次线性方程组解的结构,1 解的性质,性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解.,性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解.,性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解.,（。

7、1,4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,2,定理8 设A为sn矩阵, 则齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件为rAn.,证明：对A进行列分块， 则AX=0的向量表示形式为,其有非零解的充要条件是,线性相关,充要条件是,rA=A的列秩=,3,齐次线性方程组解的性质：,性质1 设X1, X2为齐次线性方程组AX=0的解，c为常数，则,(1) X1+X2仍为AX=0的解；,(2) cX1仍为AX=0的解.,证明: (1) A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0;,(2) A(cX1)=cAX1=c0=0;,更一般地，齐次线性方程组AX=0解的 任意线性组合仍为解,4,即:若X1, X2, .,Xr为AX=0的解, 则 k1X1+k2X2+.+krXr也为AX=。

8、线性方程组的解的结构,线性方程解的结构定理,线性方程组 基础解系,一阶线性方程解的结构,线性方程组解的讨论,齐次线性方程组的通解,如何求线性方程组的解,线性方程组的通解,线性方程组同解,线性方程组的解的个数。

9、6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构,下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系.,(1)如果u1是Ax=b的一个解,v1是Ax=0的 一个解,则u1+v1也是Ax=b的解.,证: Au1=b, Av1=0,故A(u1+v1),=Au1+Av1,=b+0,=b,(2)如果u1,u2是Ax=b的两个解, 则u1-u2是Ax=0的解.,证:Au1=b, Au2=b,故A(u1-u2),=Au1-。

10、2020年7月4日星期六,Spring, 2010,18ppt,1,2.4 齐次线性方程组,矩阵方程为:,其中,2020年7月4日星期六,Spring, 2010,18ppt,2,设R(A)=r,则在A中存在一个不为0的r阶子式D，在 方程组(2.11)中系数包含D的r个方程便是方程组(2.11) 的同解方程组。,分三种情况讨论。,2020年7月4日星期六,Spring, 2010,18ppt,3。

11、定义4.3.1 齐次线性方程组：,4.3 齐次线性方程组,矩阵形式：,其中,向量形式：,（4.11）,推论4.3.3 若 （方程的个数小于未知量的个数），则齐次方程 组(4.11)必有非零解.,推论4.3.1 齐次线性方程组(4.11)仅有零解,推论4.3.4 含n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组仅有零解,有非零解,显然，齐次线性方程组总有零解.,推论4.3.2 齐次线性方程组(4.11。

12、第3节非齐次线性方程组解的结构和求法 下页 二 非齐次线性方程组的解的结构 一 非齐次线性方程组的解的性质 性质3若h1 h2是AX b的解 则h1 h2是其导出方程组AX o的解 这是因为 A h1 h2 Ah1 Ah2 o b b 性质。

13、1 1 主要内容 一 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质与结构 计算方法都是线性方程组的理论基础 它们在实际应用与研究上都十分重要 我们必须熟练掌握 3 6非齐次线性方程组解的结构 二 非齐次线性方程组解的结构 三 非齐次线。

14、齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成 AX=0 的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组 AX=0 一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解） 。有非零解的充要条件是 R(A)n；（2）齐次线性方程组 AX=0 解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组 AX=0，当系数矩阵的秩。

15、21:06,1,6 齐次线性方程组的解的结构,一般解（全部解）可以表示为若干线性无关的解（基础解系）的线性组合 基础解析是齐次线性方程组的解空间的一组基 主要结果：若数域K上的n元齐次线性方程组的秩rn，则它有基础解系，且每一个基础解系有n- r个元素。 基础解系的求法 化系数矩阵为简化行阶梯矩阵,21:06,2,例子,考虑,一般解,21:06,3,例子,向量形式,称为齐次线性方程组的一个基础解系.,21:06,4,基础解系的概念,的解的集合,21:06,5,基础解系的性质,下面的定理6.1给出了t的值, 其证明过程给出了 求基础解系的一个方法.,proof,21:06,6,例题 6.。

16、第四章线性方程组,引言,实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后 也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式， 曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。,复习： 对线性方程组：,或者：,我们有Cramer法则：当且仅当,有唯一解，而且解为：,但Gram法则在实际操作中不能用于计算方程组的解， 如n20的行列式，108次乘法/秒的计算机要算一万四千多年！,解线性方程组的方法可以分为2类：,直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的,迭代法：速度快，但有误差,本章讲解直接法的理论基础！,（第二节附录给。

17、,4.3 齐次线性方程组解的结构,本节所考虑的齐次线性方程组为,简记为,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,主要讨论 有非零解的情况。,1. 解的性质,(2) 由 有,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,1. 解的性质,2. 解空间,称之为齐次线性方程组的解空间，,解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。,线性方程组的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,记为,二、基础解系及其求法,(1) 线性无关；,满足：,(2) 的任何一个解都可以由,1. 基础解系,线性表出。,称 为方程组 的(一个)基础解系。,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,说明,一组基础解。

18、,4.3 齐次线性方程组解的结构,本节所考虑的齐次线性方程组为,简记为,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,主要讨论 有非零解的情况。,1. 解的性质,(2) 由 有,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,1. 解的性质,2. 解空间,称之为齐次线性方程组的解空间，,解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。,线性方程组的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,记为,二、基础解系及其求法,(1) 线性无关；,满足：,(2) 的任何一个解都可以由,1. 基础解系,线性表出。,称 为方程组 的(一个)基础解系。,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,说明,一组基础解。

19、1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构,第三章 第四讲,一、 齐次线性方程组解的结构,则方程组(1)可写成向量方程,若记,回顾,称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解,则,方程组 有非零解的充要条件是 。,齐次线性方程组的解有如下的性质,证,性质（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证,证毕.,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组。