1、齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成 AX=0 的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组 AX=0 一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解） 。有非零解的充要条件是 R(A)n；（2）齐次线性方程组 AX=0 解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组 AX=0，当系数矩阵的秩 r(A)小于未知量的个数 n 时，存在基础解系，并且基础解系中含有 n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组 AX=0，如果 r(A)n，则任意 n-r(A)个线性无关的解都是基础解系。定理
2、1:设 A 是 的矩阵，B 是 的矩阵，并且 AB=0，那么 r(A)+r(B)nmsnn分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证：设 ，则 ，AB=0，即sBB,21的 列 向 量 为 ),(21sB所以 0),(21sA jAj ,0所以， 都是齐次线性方程组 AB=0 的解s,r(B)=秩 )(),(21rnBs所以 r(A)+r(B)评论：AB=0，对 B 依列分块，时处理此类问题的惯用方法。例 1：要使 都是线性方程组 的解，只要系数矩阵 为,10,210AXA(A)-2 1 1 (B) (C) (D)01021024解：由答案之未知量的个
3、数是 3。 都是线性方程组 的解，并,10,210AX且 线性无关，21,所以 .只有（A）是正确的。1)()(3rAr，从 而，例 2：设 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n-1,则线性方程组 AX=0 的通解为 .解：记 ，由于 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零, 所以 ，1 0A且 A 的秩为 n-1，所以 就是七次线性方程组 AX=0 的基础解系，所以，线性方程组 AX=0 的通解为 1k例 3：已知 Q= ,P 为 3 阶非零方阵,且满足 PQ=0,则96421t(A)t=6 时 P 的秩必为 1 (B) t=6 时 P 的秩必为 2(C)t 6 时 P 的
4、秩必为 1 (D)t 6 时 P 的秩必为 2解：记 ，因为 都是齐次线性方程9342),(21tQ所 以,0Q321,Q组， 的解，当 时， 线性无关，所以0PX6t31, 1)(,)(Prr即P 为非零方阵，所以 )(Pr因而：t 6 时 P 的秩必为 1，选（C）另解：因为 ，当 时，所 以,0Q3)(Qr6t 1)(,2)(PrQrP 为非零方阵，所以 )(r因而：t 6 时 P 的秩必为 1，选（C）例 4：设 A 是 n（ ）阶方阵， 是的伴随矩阵，那么：2*Anrr)(110)(*当当当证明： 时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩阵是零矩阵， ；)(nAr当 0)(*Ar时，A 时可逆矩阵， ，而 ，当 0AEA*,nnr)(*时，A 存在不为 0 的 n-1 阶子式，所以1当 1)(*r此时， ， ，所以0*,)(*nAr从而 1)(*r
