1、1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构,第三章 第四讲,一、 齐次线性方程组解的结构,则方程组(1)可写成向量方程,若记,回顾,称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解,则,方程组 有非零解的充要条件是 。,齐次线性方程组的解有如下的性质,证,性质（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证,证毕.,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组基。称解空间的一组基为方程组的基础解系。,定义 1,并称为方程
2、组的通解。,定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。,基础解系的求法,证明：,系数矩阵为,有非零解，从而秩rn.对A进行行初等变换，A可化为,与之对应的方程组为,取,可得,从而得到(1)的n-r个解,首先，这n-r个解向量显然线性无关.,代入方程组得,于是,因此方程组的每一个解向量，都可以由这n-r个解向量,定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.,线性表示，,例 1 解齐次线性方程组,解 齐次线性方程组的系数矩阵为,对A进行行初等变换，得,秩r24，故有非零解.,其对应的方程组是,基础解系为,方
3、程组的通解为,二、非齐次线性方程组解的结构,如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组，简称导出组.,定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一个特解与其导出方程组的解之和。,其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,解 对增广矩阵进行行初等行变换,系数矩阵与增广矩阵的秩都是25，故有解。,对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础
4、解系为,令x3x4x50，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)， (不能忽略常数列)，于是它的全部解为,其中k1，k2，k3，为任意实数。,例 3 设线性方程组,试就p,t讨论方程组 的解的情况，有解 时并求出解.,解 对增广矩阵进行行初等变换,(1)当 时，有惟一解,(2)当p=1，且1-4t+2pt =1-2t=0 即t = 时，方程组有无穷多解，此时,(3)当p=1，但1-4t+2pt=1-2t0，即t1/2时，方程组无解.,(4)当t=0时，1-4t +2pt =10，故方程组也无解.,练习. 设,(1) 求|A|； （2）已知有无穷多解，求，并求的通解.,齐次线性方程组解的情况,齐次线性方程组基础解系的求法,三、小结,（一）、齐次线性方程组解的结构,1 非齐次线性方程组解的情况,2非齐次线性方程组通解的求法,（二）、非齐次线性方程组解的结构,
