线性方程组解的结构PPT课件

1、一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构 第三章第三章 线性方程组线性方程组3.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构3.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、 齐次线性方程组解的结构1 解的性质性质 1 （ 1） 的两个解的和还是 （ 1） 的解 . 性质 2 （ 1） 的一个解的倍数还是 （ 1） 的解 . 性质 3 （ 1） 的解的任一线性组合还是 （ 1） 的解 . （ 1）23.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构齐次线性方程组 (1)一组解 ，若满足 ii） (1) 的任一解都能。

2、第3章线性方程组 二 齐次线性方程组解的结构 三 非齐次线性方程组解的结构 下页 一 线性方程组的一般表示形式 高斯消元法与矩阵的初等行变换 基本概念 1 1线性方程组的一般表示形式 含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为 若b b1。

3、1,第四章 线性方程组的解的结构,1 线性方程组解的存在性定理,2 齐次线性方程组解的结构,4 线性方程组在几何中的应用,3 非齐次线性方程组解的结构,-2-,4.1 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。,-3-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),一、非齐次方程组解的存在性定理,-4-,对于非齐次方程组,(4-1),向量 可由A的列向量组,线性表示。,-5-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-6-,二、齐次方程组。

4、3.6 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,1解的性质,性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解;,性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解;,性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解,2 基础解系,定义 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,r，若满足,1) 1,2,r线性无关；,2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由1,2,r线性表出；,则称1,2,r为齐次线性方程组(1) 的一个基础解系；,4 基础解系存在性,定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程组系数矩阵的秩。,证：若r=n, 方程组只。

5、,4.3 齐次线性方程组解的结构,本节所考虑的齐次线性方程组为,简记为,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,主要讨论 有非零解的情况。,1. 解的性质,(2) 由 有,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,1. 解的性质,2. 解空间,称之为齐次线性方程组的解空间，,解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。,线性方程组的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,记为,二、基础解系及其求法,(1) 线性无关；,满足：,(2) 的任何一个解都可以由,1. 基础解系,线性表出。,称 为方程组 的(一个)基础解系。,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,说明,一组基础解。

6、非线性方程组的解法简介,小组成员：田芳 王悦瑜 冯同同 杨林,非线性方程组的解法,1、基本概念非线性问题可以分为三类：几何非线性、材 料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性 问题，总是最终归结为求解非线性代数方程组：,式中：,荷载矩阵；,节点位移矩阵；,总体刚度矩阵。,K不再是常数矩阵，而是随结构的应力和位移的变化而变化的。,对于上述非线性代数方程组，常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。,非线性方程组的解法,2、迭代法 迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐 步修改位移和应变，使之满足。

7、第4章 向量组与线性方程组的解的结构,4.1向量组及其线性组合,4.2向量组的线性相关性,4.3向量组的秩,4.4 线性方程组的解的结构,锣边蓝当给幽蔚龄肥嵌戈六揽枫氦虞酋规钵自脚晒理铡恩刹玉泪供龚采詹向量组与线性方程组的解的结构向量组与线性方程组的解的结构,即 矩阵,4.1向量组及其线性组合,4.1.1,维向量的概念,1 维向量的定义,个有次序的数,维向量，这,个数称为该向量的分量，第,个数,称为第,个分量（或第,个坐标）,行向量,列向量,即 矩阵,狈畜邹诗立宇蛋刨勘爬棱五迷名绪啮绿赴唉蔽寡万重僻戚唆淤下篓咳枫灰向量组与线性方程组的解的结构。

8、1 第三章 线性方程组 2 线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一 是解决很多实际问题的的有力工具 在科学技术和经济管理的许多领域 如物理 化学 网络理论 最优化方法和投入产出模型等 中都有广泛应用 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同 且系数行列式非零的线性方程组 本章研究一般线性方程组 主要讨论线性方程组解的判定 解法及解的结构等问题 还要讨论与此密切相关的向量线性。

9、1 第五讲线性方程组有解的充分必要条件 二 非齐次线性方程组解的研究 三 齐次线性方程组解的研究 一 线性方程组的基本概念 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2 对于方程组 其中有n个未知数 m个方程 1 称为方程组 1 的系数矩阵 或用矩。

10、线 性 代 数 张保田,第二章 线性方程组,2.3 解线性方程组,复习： 线性方程组消元解法的类型(2.1),本节讨论线性方程组解的判别及解的类型,系数矩阵的台阶数=增广矩阵的台阶数=未知量的个数 ，则有唯一解；,系数矩阵的台阶数=增广矩阵的台阶数 未知量的个数，则方程组有无穷多解。,系数矩阵的台阶数增广矩阵的台阶数，则方程组无解。,由初等行变换将线性方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵后：,定理 设矩阵A=aijmn 为非零矩阵，则通过初等行变换和列互换一定可把A化为约化阶梯形矩阵, 矩阵初等变换的结论,一. 线性方程组有解的判定,对一般线性。

11、1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构,第三章 第四讲,一、 齐次线性方程组解的结构,则方程组(1)可写成向量方程,若记,回顾,称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解,则,方程组 有非零解的充要条件是 。,齐次线性方程组的解有如下的性质,证,性质（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证,证毕.,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组。

12、三 非齐次线性方程组解的结构 四 小结思考题 二 基础解系及其求法解的结构 一 齐次线性方程组的性质 第四节线性方程组的解结构 设有齐次线性方程组 若记 1 一 齐次线性方程组解的性质 一 齐次线性方程组解的结构 则上述方程组 1 可写成向。

13、 3 4线性方程组的解 我们知道 n未知数m个方程的线性方程组 可以写成Ax b 其中A aij x x1 x2 xn T b b1 b2 bm T 矩阵B Ab 称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它。

14、数值计算方法实验 14学时吕俊瑞pzhjsjxy2008 654321 线性方程组的数值解法 实验目的 掌握使用雅可比迭代算法和列主元高斯消去法解线性方程组的方法实验要求 学会使用TC编写该算法的程序 并能够正确运行给出结果 实验内容 结合雅可比迭代算法和列主元高斯消去法 编程给出以下两个方程组的解x1 x2 3x4 4x1 x2 2x3 x4 82x1 x2 x3 x4 12x1 2x2 3x3。

15、线性代数课件 hty,1,3.6 线性方程组解的结构,线性代数课件 hty,2,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,线性代数课件 hty,3,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,线性代数课件 hty,4,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程(2)的解,线性代数课件 hty,5,齐次线性方程组解的性质,证明,线性代数课件 hty,6,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空。

16、一、齐次线性方程组解的结构,二、一般线性方程组解的结构,3.6 线性方程组解的结构,三、练习,齐次线性方程组非零解的存在性,定理1.,AX=0有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩r(A)n,推论1.,AX=0只有零解的充要条件是r(A)=n,推论2.,方程个数m小于未知量个数n时,AX=0必有非零解;,当m=n时,AX=0有非零解的充要条件是|A|=0.,推论3.,当m=n时,AX=0只有零解的充要条件是|A|0.,一、 齐次线性方程组解的结构,1 解的性质,性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解.,性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解.,性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解.,（。

17、线性方程组的解的结构,线性方程解的结构定理,线性方程组 基础解系,一阶线性方程解的结构,线性方程组解的讨论,齐次线性方程组的通解,如何求线性方程组的解,线性方程组的通解,线性方程组同解,线性方程组的解的个数。

18、线性代数（第五版）,高等学校工程数学系列课程,新余学院 数学教研室,线性代数, Linear Algebra ,（同济大学版）,内容提要4.1 向量组的线性组合4.2 向量组的线性相关性4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组解的结构4.5 向量空间,第四章 向量组的线性相关性,4.4 线性方程组解的结构,4.4.0 引言,【问题】什么是线性方程组的解的结构？ 【答】所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方、 程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系【备注】 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构 下面的讨论都是假设线性方程组有解,4.4.1 齐次线性方程组的基础解系。