1、非线性方程组的解法简介,小组成员：田芳 王悦瑜 冯同同 杨林,非线性方程组的解法,1、基本概念非线性问题可以分为三类：几何非线性、材 料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性 问题，总是最终归结为求解非线性代数方程组：,式中：,荷载矩阵；,节点位移矩阵；,总体刚度矩阵。,K不再是常数矩阵，而是随结构的应力和位移的变化而变化的。,对于上述非线性代数方程组，常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。,非线性方程组的解法,2、迭代法 迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐 步修改位移和应变，使之满足非线性的应力-应变 关系。,1）割线刚度迭代法,割线刚度迭代法是迭代法中比较简单
2、的一种，又称直接迭代法，其迭代过程如图所示,非线性方程组的解法,在某级荷载P作用下，用初始刚度矩阵，求得位移的第一次近似值,然后，利用 求的单元的应变、应力，根据应力状态确定此刻的本构矩阵，再根据这一本构矩阵求得新的割线刚度矩阵 ,再求得位移的第二次近似值,重复上述过程，可以得到n次近似解：,直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止：,非线性方程组的解法,特点：,a)步骤简单。,b)每步都要重新计算K，再重新分解并求解线性方程组，计算量大。,c)收敛性有时难以保证，如图所示。,非线性方程组的解法,2)切线刚度迭代法,切线刚度迭代法是一种变刚度迭代法，但不是用割线刚度而是用变化的切线刚度。其迭
3、代过程如图所示。这一迭代法又称为Newton-Raphson法。,首先取初始刚度矩阵 ，求得位移的第一次近似值,非线性方程组的解法,由初始位移可以求得单元应变，进而求得单元应力。有单元应力可以求得相应的节点荷载 。,从而求得位移的第二次近似值为,重复上述步骤,第二步，用相应于 时的切线模量 ，在荷载作用下求得位移增量 ，即,直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止,非线性方程组的解法,3)等刚度迭代法,具体步骤：,a)首先取初始刚度矩阵 ，求得位移的第一次近似值,等刚度迭代法又称为修正的Newton-Raphson法，这一 方法在迭代过程中采用不变的刚度。,b)按 求出单元应变 ，有单元应变
4、求的单元应力 ，其中 为材料本构矩阵，由应力可以求得 相当的节点力为,其中， 为几何矩阵，这样 与原加荷载的差为,非线性方程组的解法,c)将 再加于结构，仍用初始刚度 求得附加位移将 再加于结构，仍用初始刚度 求得附加位移,d)重复上述步骤，知道得到足够近似的解。,特点：,a)每轮迭代只改变荷载项， K保持不变，故只需分解一次系数矩阵，计算量大为减小。,b)收敛性速度变慢。,非线性方程组的解法,3、增量法,增量法的基本思想是将荷载划分为许多小的荷载部分（称为增量），这些荷载增量一般取成大小相等，也可根据需要改为不等。计算时每次施加一个荷载增量。在一个荷载增量中，假定刚度矩阵是常数；在不同的荷载
5、增量中，刚度矩阵可以有不同的数值。增量法使用一系列线性问题去逼近非线性问题，实质上时用分段线性去代替非线性曲线。,非线性方程组的解法,欧拉折线法计算第n个位移增量时，其刚度矩阵取为上 一级荷载增量结束时的线性刚度矩阵 ，也即第n级荷载开始的线性刚度，即 。,欧拉折线法：,设荷载分为m个增量：,每个荷载增量产生一个位移 ，因而在施加n个荷载,增量之后，总荷载为,非线性方程组的解法,2)由位移增量计算各单元应变增量及相应的应力增 ，并计算总的位移与应力,3)增判断是不是最后一级荷载，如果是最后一级荷载，则结束计算；若不是，则进行下一步计算；,4)根据总应力水平 ，修正材料弹性常数，求出相应的单元刚度和集合总体刚度矩阵 并转到步骤2)，施加下一步荷载增量 。,求解步骤：,1)施加第n步荷载增量 ，利用始点线性刚度矩阵 求得这一步荷载增量下的位移增量 ；,非线性方程组的解法,4、增量迭代法,增量迭代法及荷载也划分为荷载增量，但增量上的个数较少，而对每一个荷载增量进行迭代计算。,
