1、1 1 主要内容 一 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质与结构 计算方法都是线性方程组的理论基础 它们在实际应用与研究上都十分重要 我们必须熟练掌握 3 6非齐次线性方程组解的结构 二 非齐次线性方程组解的结构 三 非齐次线性方程组解的计算方法 1 2 一 非齐次线性方程组解的性质 设有线性方程组 其矩阵方程为 1 3 称为方程组 3 16 的导出组 其矩阵方程为 证 因为是方程组 3 16 的解 故 1 4 仍是方程组 3 16 的解 证 因为 二 非齐次线性方程组解的结构 1 5 3 17 的通解 即 证由性质2 必是方程组 3 16 的解 表示了方程组 3 16 的全部解
2、 其中 为任意常数 下面证明 方程组 3 16 的任意一个解也一定具有 3 18 的形式 1 6 即存在常数 使得 因此必定可由导出组 3 17 的基础解系线性表出 因此方程组 3 16 的任意一个解可表示为 3 18 的形式 方程组 3 16 的结构式通解 简称通解 1 7 注1若由定理3 10知 当方程组 3 16 有解时 它有唯一解的充要条件是其导出组 3 17 仅有零解 它有无穷解的充要条件是其导出组有无穷多解 由定理3 11可得求解非齐次线性方程组通解的步骤 1 对增广矩阵进行初等行变换 将其化为行最简形阶梯矩阵 2 将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方程组 三 非齐次线性方程组
3、解的计算方法 1 8 5 写出非齐次方程组的通解 4 写出非齐次方程组的特解 3 由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个基础解系 并写出齐次方程组的通解 例1求解方程组 1 9 解 1 10 1 11 1 12 解 例2求下述方程组的解 1 13 所以方程组有无穷多解 继续进行初等行变换 得 1 14 故得导出组的基础解系 1 15 求原方程组的一个特解为 所以方程组的通解为 1 16 1 17 求方程组AX B的通解 解 由题设 因为 所以 是导出组的解 1 18 即导出组的基础解系只含有一个解向量 故原方程组的通解 1 19 解 1 20 1 21 齐次线性方程组基础解系的求法 1 对系数矩
4、阵A进行初等行变换 将其化为行最简形矩阵 四 小结 1 22 由于 令 2 得出 同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量 1 23 故 为齐次线性方程组的一个基础解系 1 24 线性方程组解的情况 1 25 与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 1 26 线性方程组的解法 1 应用克莱姆法则 2 利用初等变换 特点 只适用于系数行列式不等于零的情形 计算量大 容易出错 但有重要的理论价值 可用来证明很多命题 特点 适用于方程组有唯一解 无解以及有无穷多解的各种情形 全部运算在一个矩阵 数表 中进行 计算简单 易于编程实现 是有效的计算方法 1 27 思考题1 1 28 思考题1
5、解答 1 29 1 30 解 并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 思考题2 设线性方程组 已知是该方程组的一个解 试求方程组的全部 分析 含未知参数的线性方程组的求解 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形 然后对参数进行讨论 由于本题已知了方程组的一个解 于是可先由它来 部分 确定未知参数 1 31 将 代入方程组 得 对方程组的增广矩阵施以初等行变换 得 思考题2解答 1 32 即方程组有无穷多解 且 为其一个特解 对应的齐次线性方程组的基础解系为 故方程组的全部解为 其中k为任意常数 当 时 有 1 33 故方程组有无穷多解 且 为其一个特解 对应的齐次线性方程组的基础解系为 故方程组的全部解为 其中为任意常数
