齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

1、1 第五讲非齐次线性方程组解的结构 一 非齐次线性方程组解的性质 二 非齐次线性方程组的通解的结构 三 线性方程组的解法 第四章向量组的线性相关性 2 证明 一 非齐次线性方程组解的性质 3 证明 证毕 的一个解的和 均可表示为的一个特解和。

2、第3节非齐次线性方程组解的结构和求法 下页 二 非齐次线性方程组的解的结构 一 非齐次线性方程组的解的性质 性质3若h1 h2是AX b的解 则h1 h2是其导出方程组AX o的解 这是因为 A h1 h2 Ah1 Ah2 o b b 性质。

3、1 1 主要内容 一 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质与结构 计算方法都是线性方程组的理论基础 它们在实际应用与研究上都十分重要 我们必须熟练掌握 3 6非齐次线性方程组解的结构 二 非齐次线性方程组解的结构 三 非齐次线。

4、 6非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 1 如果u1是Ax b的一个解 v1是Ax 0的一个解 则u1 v1也是Ax b的解 证 Au1 b Av1 0 故A u1 v1 Au1 Av1 b 。

5、6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构,下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系.,(1)如果u1是Ax=b的一个解,v1是Ax=0的 一个解,则u1+v1也是Ax=b的解.,证: Au1=b, Av1=0,故A(u1+v1),=Au1+Av1,=b+0,=b,(2)如果u1,u2是Ax=b的两个解, 则u1-u2是Ax=0的解.,证:Au1=b, Au2=b,故A(u1-u2),=Au1-。

6、1,4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,2,定理8 设A为sn矩阵, 则齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件为rAn.,证明：对A进行列分块， 则AX=0的向量表示形式为,其有非零解的充要条件是,线性相关,充要条件是,rA=A的列秩=,3,齐次线性方程组解的性质：,性质1 设X1, X2为齐次线性方程组AX=0的解，c为常数，则,(1) X1+X2仍为AX=0的解；,(2) cX1仍为AX=0的解.,证明: (1) A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0;,(2) A(cX1)=cAX1=c0=0;,更一般地，齐次线性方程组AX=0解的 任意线性组合仍为解,4,即:若X1, X2, .,Xr为AX=0的解, 则 k1X1+k2X2+.+krXr也为AX=。