幂级数的和函数

1、大理学院学报 第8卷第4期2009军4月 ：2：2竺些篮2竺：竺：錾2耋：一 一一一 一一一 一一一 =：=：竺：三竺型：K一解析函数的幂级数展开式张建元，张毅敏，刘承萍，姜锐武(昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通657000)摘要给出了K一解析函数的幂级数展开式，并在此基础上得到了K一解析函数的零点孤立性及其唯一性，所得结论是解析函数与共轭解析函数中相应结果的继续和应用。关键词K一解析函数；收敛K一半径；幂级数展开式；零点；唯一性定理中图分类号01745文献标识码A文章编号16722345(2009)04001405Expansion of K-analytic Function i。

2、山西师范大学现代文理学院 毕业论文(毕业设计)开题报告,二一三 年 九 月 十一日,论文题目：函数幂级数的展开与应用 系 别：数学与计算机科学系 专 业：数学与应用数学 班 级：1003 班 姓 名：杜晓蕾 学 号：1090110334 指导教师：张丽红,。

3、函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的。

4、第五节 函数的幂级数展开式的应用,幂级数有许多应用,上段我们已经用它表示,了比较复杂的函数,这里再来看它在近似计算,上的应用.,例11 计算sin100的近似值,精确到10-4.,在sinx的展开式(6)中,令x=0.174533,并取前面三项,估计误差,解: 先把自变量化为弧度制.,的近似值,精确到10-4,在二项式级数中令x=2/35(-1,1)并取二项计算,由于这时,例12 求,例13 计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001,如果取这级数的前n项的和作为ln2的近似值,其误差为,解:,为了保证误差不超过10-4,就需要取级数的前,10000项进行计算.这样做的计算量太大,我们必,须用收敛。

5、1,第四节,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,初等函数的幂级数展开,二、函数展开成幂级数,2,两类问题:,在收敛域内,和函数,3,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,4,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,5,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级。

6、、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、1. 、 、 、 、 、 、 、 、 、(1) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ;(2) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、2. 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、xe),(x)(ln1! n34n、 、 、 、 .、 、 、 、 、 、 、 、 、 、!)2(xsi!57co1246nxm)(! )(、 m= 1 、x,32 nx,)1(、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 , 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、.),(zyx、 、 、 、 、 (x, y, z) 、 、 、 、vd2、 、 、 、 、 z、 、 、 、 、 、 :I,Oy、 z。

7、1 引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数 在点 的某个邻域内存在直至 阶的连续导数，f0xn则 20 0000!xfxffxf， (1)00(!nnfR这里 = 称为皮亚诺型余项。如果增加条件“ 有 阶连续xRnno0 xf1n导数” ，那么 还可以写成三种形式n（拉格朗日余项）110()!nnxfx（柯西余项。

8、111第十章 函数项级数习题课一、 主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、 函数列 ()nfx一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）： |()|0nfxf（4）估计方法： |()|nfxa（5）Dini-定理：条件 1）闭区间 ；2）连续性； 3）关于 的单调性,bn注、除 Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判。

9、课题 11.5 函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用 教具用品 多媒体 教学目的：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 掌握 , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点： , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式 难点：泰勒级数 教学方法：讲授 时间分配：90分钟,第五节,一、函数展开成幂级数,二、幂级数展开式的应用,函数展开成幂级数及 幂级数展开式的应用,三、欧拉公式,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n。

10、1第四节一、泰勒( Taylor ) 级数初等函数的幂级数展开第五章二、函数展开成幂级数三、函数幂级数展开式的应用2两类问题: 在收敛域内和函数 )(xSnnnxa=0幂级数 求和展开3一、泰勒( Taylor ) 级数+= )()( 0xfxf + )( 00 xxxf 200 )(!2)( xxxf nnxxn xf )(! )( 00)(+L )(xRn+其中=)(xRn ( x在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1( )( + nnxxnf x则在若函数 0)( xxf 在 的某邻域内具有n + 1 阶导数, 此式称为f (x) 的n阶泰勒公式,该邻域内有:4+)( 0xf + )( 00 xxxf 200 )(!2 )( xxxf LL + nnxxn xf )(! )( 00)(为f (x)的泰勒级数. 则称当x0。

11、7.5 函数的幂级数展开式,通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).,本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内展成幂级数.,即能否找到幂级数,在某个区间内收敛,且其和函数就是给定的函数f (x).,若能找到这样的幂级数,我们说,函数f (x)在该区间内能展成幂级数.,将已知函数展开成幂级数,需解决以下两个问题：,(2) 函数(x)满足什么条件才能展开成幂级数?,(1) 如果函数可以展开成幂级数,应如何确定幂级数的系数?,泰勒级数,证明：,注：此定理给出了在函数可以展成幂级数的前提下,求函数幂级。

12、348第十章 函数项级数引言 本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数 。类比数项1()nux级数，要解决的主要问题是：对什么样的 ， 有意义，在有意义的条件x1()nu下，对应的和函数 具有什么样的分析性质以及如何计算和函数。1()()nfxu1 函数项级数及其一致收敛性一、 定义我们先给出函数项级数的定义。给定实数集合 X，设 ， 是定义在 上的函数，称无穷个()nux1,23)X函数的和 12()()nxux为函数项级数，记为 其中： 称为通项， 为部分和，1nun 1()()nkSxu也称 为 的部分和函数列。()nSx1()nx类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题。

13、2 函数的幂级数展开,由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供了一种新的方法.,返回,二、初等函数的幂级数展开式,一、泰勒级数,一、泰勒级数,在第六章3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0,的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则,这是泰勒公式带来的重要结论.,可以由函数 f 得到一个幂级数,所要着重讨论的问题. 请先看一个例子.,例1 由于函数,二段末尾), 即,上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不,都能收敛于。

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15、无穷级数,第三节 幂 级 数,第三节 幂级数,一. 函数项级数,1.定义,函数项级数,是定义在区间 I 上的函数列,在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数,收敛, 收敛点,发散, 发散点,函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域,2.收敛域,3.和函数：,在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数,4.余项:,前n项的部分和,在收敛域内才有意义,且,二. 幂级数及其收敛性,幂级数,各项都是幂函数的函数项级数,一般形式:,特例,系数,(1),(2),主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2),1.幂级数的收敛域,x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级。

16、幂级数的和函数 一、 幂级数的运算： 设 与0nnnax=0nnnbx=两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算： i 加法和减法：00nnnnax bx= = 0()nnnnabx=其中 、 为常数。当12R R 时，上式的收敛半径为12min , R RR=ii 乘法和除法： 000nnnn nax bx cx = = n1其中011nnn ncabab ab= +二、 和函数： 设 的收敛半径为 R (R0)， 为和函数，则有以下性质成立 0nnnax=0()nnnSx ax=i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式： 100() ( )nnnnSx ax nax=且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。 ii 由此。

17、考研中，遇到幂级数求和函数的问题，往往是以解答题的形式出现较多。而幂级数和函数求法相对来说是比较固定的。因为不管题目怎么变化，我们都是按照下面介绍的三种方法处理。但是要把这三个方法用好，必须对适用幂级数的形式特征要能够作出正确的判断，否则不好处理。我们先介绍第一种方法。用已知的 5 个函数展开式求幂级数的和函数方法。要把这个方法用好，我们首先要对已知 5 个函数的展开式的结构特征要把握清楚准确，因为这是我们能否用 5 个函数的展开式求和函数的前提，也是我们到底用哪个函数的展开式的依据，同时也是我们对题中。