1、348第十章 函数项级数引言 本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数 。类比数项1()nux级数，要解决的主要问题是：对什么样的 ， 有意义，在有意义的条件x1()nu下，对应的和函数 具有什么样的分析性质以及如何计算和函数。1()()nfxu1 函数项级数及其一致收敛性一、 定义我们先给出函数项级数的定义。给定实数集合 X，设 ， 是定义在 上的函数，称无穷个()nux1,23)X函数的和 12()()nxux为函数项级数，记为 其中： 称为通项， 为部分和，1nun 1()()nkSxu也称 为 的部分和函数列。()nSx1()nx类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题，显然，这
2、和 x 点的位置有关，为此，先引入函数项级数的点收敛性。定义 1.1 设 ，若数项级数 收敛，称 在 点收敛。0xX0()nux1()nu0否则，称 在 点发散。1()nu0注、显然， 在 点收敛，等价于函数列 在 点收敛，即1()nx0 ()nSx0数列 收敛。0()nSx349注、定义给出了函数项级数在一点的收敛性，也称点收敛性，进一步可以将点收敛性推广到区间或集合收敛性。定义 1.2 若 ， 收敛，则称 在 上收敛。此时，xX1()nux1()nuxX， 都有意义，记 ，称 为 的和函数。xX1()nu 1()()nS()S1()n注、 在 上收敛是局部概念，等价于 在 中每一点都收敛。
3、1()nx 1()nuxX注、 在 上收敛，等价于函数列 在 上收敛。显然，在收1()nuxX()nSx敛的条件下，有。1()()lim()nnSxux例 1 讨论函数项级数 在 上的收敛性，并在收敛的条件下1n(,)X求其和函数。解、任取 ，考察数项级数 。0(1,)x01nx由根式判别法可知： ，可知 绝对收敛，因而 收敛，0|nx01n 01nx由 的任意性，则， 在 收敛。0(1,)x1n(,)利用等比数列的求和公式，则， 1()()nnkxSx(1,)x因而，350。()lim(), (1,)1nxSx通过例 1 可知，借助于数项级数的收敛性，可以研究函数项级数的收敛性。与函数项级数
4、相类似的研究对象是函数列，函数项级数与函数列可以相互转化，事实上，给定函数项级数 ，得到对应的部分和函数列 ，1()nux()nSx而 的敛散性也等价于 的敛散性。反之，给定一个函数列 ，1()nux()nS ()n令 ， ，得函数项级数 ，使得 的部1()()nnSx0)1()nux1()nux分和正是 。二者的敛散性也等价。因此，可以将 视为与 等()n 1()n()nS价的研究对象，因而，在后续的研究中，只以其中的一个为例引入相关的理论，相应的理论可以平行推广到另一个研究对象上。下面，我们继续以函数项级数为例引入相关理论。我们将函数项级数与数项级数进行简单的对比，可以发现：二者的形式上的
5、区别在于通项结构上，数项级数的通项是仅与位置变量有关的常数，而函数项级数的通项是与位置变量有关的函数，正是这些简单的区别，却决定了函数项级数的研究内容要比数项级数的内容更加丰富，即除了研究“点”收敛之外，还要研究对函数的运算（如极限、微分、积分等）能否由有限过渡到无限，函数的性质（如连续性、可微性等）能否由有限过渡到无限，如：已知成立有限和的函数极限的运算性质 0 001 1lim()()lim()li()n nx xxuuu这个性质能否过渡到对无限和的函数运算也成立，即成立， 0 011li()li()nnxx这实际是两种运算求和和求极限的换序运算问题。再如对有限和成立的微分和积分运算性质，
6、11 ()()()()nnduxxdux，1b bbna aadu351能否过渡到对无限和的运算也成立。再如，在收敛的情况下，和函数是否一定继承每个 相应的性质，如每个 ，是否成立 ？()nux()0,1nuxC()0,1SxC有例子表明，不加任何条件，上述提到的问题的答案都是否定的，如：令， ，则 在 收敛，且 ，故1()1()nn1()n,()nn，0 ,()lim()nxSx显然， 或 ，但 或 。 0,1nuC,1SC当然，否定的结论不是我们希望的结论，因此，为使得 保持更好1()nux的性质，必须引入更好的收敛性。事实上，从 的点收敛的定义也可以1()nux看出其局限性，设 在集合
7、X 上收敛，则对任意的 ， 和1()nuxX1()nux在 点收敛，由 Cauchy 收敛准则：()nSx对 ，使得当 时，0,(,)NxnN，对 成立，| |npnSp或，对 成立，12|()()()|nnnpuxux p显然，对不同的 ， 也不同。正是由于在收敛的条件下， 强X,N (,)Nx烈依赖于 x，显示了强烈的局部性质，使得每个 的性质很难延伸到和函数()nx上，也使得一些运算很难推广，要解决这些问题，关键是能否找到一个公共的，使得上式对所有 都成立？这就是将要引入的一致收敛性。Nx二、 一致收敛性352定义 1.3 设 在 上有定义，如果 ， ，当1()nuxX0()0N时，nN
8、，对 ， 成立，1|()()|nnppxX则称 在 上一致收敛。1()nuxX也可用部分和函数列 引入等价的定义。()nSx定义 1.4 给定函数列 ，若 ， ，当 时，0()0NnN，对 ， 成立，|()()|npnxxpxX则称 在 上一致收敛。()nSxX如果知道和函数，还可利用和函数定义一致收敛性。定义 1.5 设 （ ）在 上收敛于 ，若 ，1()nux()nSX()Sx0，当 时，()0NnN， （ ）对 成立，1|()|kuxS|()|nSxx则称 （ ）在 上一致收敛于 ，记为1()n()nX()（ ） ，在 上。1()nuxS()nxSX注、一致收敛是整体概念。注、一致收敛的
9、几何意义： 等价于当 nN 时，函数曲线()n都落在曲线 和 之间。()nSx()Sxe-+例 2 证明： 在 一致收敛。21nx(,)X353证明：1） 、计算和函数 。任取 ，则()Sx0X，002()1nSx故， 。()x2） 、判断及验证。由于，0022|11|()nxnxS故， ， ，当 时，()NN，对 成立，|nSxxX因而， 。()注、类似于数列极限证明的放大法，证明 也是利用放大法得()nSx到的一个与 x 无关且单调递减收敛于 0 的界 G（n）,即如下估计：|()|nSx。|()|()nSGn将上述证明思想抽取出来，得到如下判别法： 推论 1.1 设存在数列 ： ，使得
10、， ，则在na0|()|nnSxaxX上 。X()nSx再引入一个较弱的概念。定义 1.6 设 为一区间，若 ， ，称 在X,abX,()abnSx()nSx上内闭一致收敛于 。X()Sx显然，一致收敛性远强于点收敛性。正是如此，才保证一致收敛条件下和函数能继承很好的性质，也能保证函数性质由有限到无限的过渡。在研究这些性质之前，先给出一致收敛性的一个充要条件。以 为例：()nSx定理 1.1 设 在 X 上点收敛于 ，记()nSx()x354，|()|sup|()| nnxXSxSx则， 当且仅当 。()XnSxlim|0n证明：充分性设 ,则 ， ，当 时，lim|()|0nSxNn.|()
11、|nx又，|()|()|nnSxSxX故 时， ，都有nNX，|()|nx故， ， 。()nSx必要性设 ，则 ， ，当 时，()nx0()Nn， ，|()|2nSxX故, ,因而,sup|()|nxXx. lim|()|0n注、对任意的 n， 是一个与 x 无关的量。 |()| Sx注、定理 1.1 的思想是将一致收敛的判断转化为最值（确界）的计算和数列的极限的计算，而最值的计算可利用导数法来完成，因而，对一个具体的函数列，可以借助于微分学理论完成一致收敛性的判断。例 3 判断 在 的一致收敛及内闭一致收敛性。2()1nxS(0,)解、显然 。0x用定理 1.1 判断。由于 ，下面用导数法求
12、其最大值。2()1nnxxS对固定的 ，因而n355，222(1)(1)nxnxnSx故， 在 处达到最大值，因而，()nn 1|()|()|)02nnSxSx故， 不一致收敛于 S（x） 。()nSx考察内闭一致收敛性。任取 ，由于,(0,)ab，2(1)nxSx因而，当 时， ， ，因此，此时1a(0n,ab，2|)|()|()|01nnSxSxa故， ，因而， 在 内闭一致收敛于 0。,()0abn0,三、一致收敛的判别法则我们以函数项级数为例，给出一致收敛性的判别法。给定 上的函数项级数 。X1()nux定理 1.2 （Weiersfrass 判别法）若存在 ，当 时， ， ，而正项级
13、数 收敛，0N|()|nnxaX1na则 在 上一致收敛。1()nuxX证明：由于 收敛，用 Cauchy 收敛准则，则对任意的 ，存在 N，1na0当 nN 时，对任意的正整数 p，成立，10nnu356因而，当 nN 时， 对1|()()|nnpuxxxX故， 在 上一致收敛。1()nX注：W-判法也是比较判别法。类似数项级数，还可以引入如下的判别法。定理 1.3（Abel 判别法）设 在 上一致收敛， 满足：1） 、对 ， 关于 单1()nuxX()nvxxX()nvx调，2） 、 在 上一致有界，则 在 X 上一致收敛。()nv1()nuv分析 证明思想类似数项级数的 Abel 判别法
14、，即利用 Abel 变换和 Abel引理，考察其 Cauchy 片段。证明：设 ， ， .|()|nvxMnx由于 一致收敛，故 ， ，当 时，u0Nn， ，1|()()|3nnpxuxMp又， 关于 单调，故 ，由 Abel 引理()nvxX1 1|()()|(|2|)3nnpnnpuxxvv 故， 在 X 上一致收敛。1()nv定理 1.4（Dirichlet 判别法）设 的的部分和一致有界， 满足：1） 、对 ， 关于1()nux()nvxxX()nvx单调，2） 、函数列 一致收敛于 0，则 在 X 上一致收敛。()nvx1()nuv与 Abel 定理的证明类似，略去其证明。357例
15、4 若 收敛，证明 在 上一致收敛。1na1nax0,证明：因为 在 上一致收敛，由 Abel 判别法即得。1n0,注、不能用 Weiersfrass-定理，因为 不一定收敛。1|na例 5 设 单调趋于 0，证明： 在 内闭一致收敛。na1sinx(0,2)证明： ，考虑 ，由于 单调一致收敛于(,),2(,)na0，且成立如下的部分和有界性：，11|sin|isin2kx因此，由 Dirichlet 判别法，结论成立。 我们引入一个利用函数分析性质判断一致收敛性的 Dini-定理。定理 1.5（Dini-定理）设 ， 且 ，又设 ，,()abnSx(),nSxCab(),Sxab,xab关
16、于 单调，则 。,分析 定理中的条件有两个，从条件 出发，可以得到的结论,()abnxS是：对 ， ，存在 ，使得 时,xab0(,)N,)N，|nSx而连续性的条件，可以将上式推广到 x 的某个邻域 成立，而一致收敛性的()Ux结论要求将上式推广到对某个 N，对所有的 都成立，这就必须克服两,ab个局部性条件的限制： 和 ，一般从局部到整体性质的推广可以利(,)x(U358用有限覆盖定理，但是，由于有两个局部性条件的限制，使得利用有限覆盖定理进行推广很难进行，我们知道，对这类问题还有一个有效的处理方法，就是反证法，使得假设要证明的结论整体不成立，利用条件得到在某个点或其附近也不成立，由此得到
17、矛盾，下面，我们利用反证法证明结论。证明：反证法设 不一致收敛于 ，则， ， 及 使得()nSx()Sx0kn,kxab(*)| |kknn利用上面的分析，我们希望确定一个点，使得在此点附近产生矛盾，为此，我们利用 Weiersfrass-定理，则 有收敛子列，不妨设knx.0,knxab下面，分析在 点附近的性质，由于 ，则对 ， ，使0x00()()nSx04N得，00|()|4NSx利用连续性，将此点的性质推广，由于 且 ，故(),NSxCab0knx，当 时0k0k， ，0|()()|8kNnSx0|()|8knx故,00|()|()()|()|kkk knnNnnSSx(*)|2kx
18、这就得到了在 点附近成立的一个性质，比较（*）和（*） ，为得到0x矛盾性的结论，只需将仅对 N 成立的（*）推广到对所有充分大的 n 都成立即可，为此，必须利用剩下的条件单调性条件。又,对固定的 ， 关于 单调，因而，当 时x()nSnk, (*)|()|()|nkx事实上，若 关于 单调增加，则 ,且 时，x()nSxk359，因而,()nkSx|()|()()|()|nnkkSxSxSxSx而当 关于 单调减，此时 ，且 时 ，则()n n()nk|()()|()|nkkxxxx故, 时总成立k,|()|()|nkSS因而，当 充分大，使得 时，由(*)和(*)得kN，0|()|()|2
19、kkkknnnnxx这与(*)矛盾。故, . ,abS注、定理 1. 5 中闭区间的闭性条件不可去。将定理 1.5 推广至函数项级数，可得相应的 Dini-定理。定理 1.6 设 ， ，如果 1） 、 ，()nuxS,xab,nuCab， ，2） 、对每个固定 ， 是同号级数，(1,2)n (,SxCab,1()nx则 在 一致收敛于 。1()nu,()Sx例 6 设 ，证明： 在0,1上一致收敛。21()nnSx()n证明：容易计算，()lim()0nSx,1由于对任意的 n， 且 ；而对于任意给定的 ，,C()0, 0,1x关于 n 单调非增，由 Dini 定理， 在0,1 上一致收敛。(
20、)nSx nSx360四、一致收敛的必要条件及非一致收敛性由于并不是所有的函数列和函数项级数都一致收敛性，因此，研究函数列的非一致收敛性很有必要，下面给出一些判断非一致收敛性的结论。定理 1.7 设 ，则 的充要条件是 ，都有()XnSx()XnSxnxX。lim()(0nSx证明：必要性设 ，则 ， ，当 时，()n0Nn， ，|()|nSxxX因而，|()|nn故， 。lim()0nSx充分性反证法。设 不一致收敛于 S（x） ，则 ， ， ，()n 0Nn，使得NnxX。0|()|NNnnSx取 ，则 ， ，使得 ；111X110|()|nnSx取 ，则 ， ，使得 。22nx22|()
21、|如此下去，构造 ，使得k。0|()|kknnSx因此，对任意满足 的点列 ，都有 不收敛于kxX()(nnSx0，与条件矛盾。 定理 1.7 的作用体现在下面推论中。推论 1.2 若 ，使得 不收敛于 0，则 不一致收nxX|()|nnSx()nx敛于 S（x） 。361相应的结论可以推广到函数项级数，如类似成立： 若 在 上收敛，1()nuxX则 在 上一致收敛的充要条件是 ，有 ，其中1()nuxXnxXlim()0nr。1()()nknr下面的结论在判断函数项级数的一致收敛性时也非常有用：定理 1.8 若 在 上一致收敛，则对 ， 收敛。1()nuxXnxX1()nux这个结论可以用类
22、似定理 1.2 的方法证明，但是，条件的充分性不成立。这个结论在判断非一致收敛性时很有用。例 7 证明： 在0 , 1上非一致收敛。21()nnx证明：取 ， 发散，由定理 1.8，结论成n211()()nnx立。例 8 判断 在 上的一致收敛性。()nnSx0,)解、显然 ，取 ，则1(,)n，()0nnxe故 不一致收敛。()nSx类似数项级数，成立函数项级数一致收敛的必要条件。定理 1.9 若 在 上一致收敛，则 。1()nuxX()0Xnux只需用 Cauchy 收敛准则即可。事实上：由于 一致收敛，则 ，1()n0362，当 时，Nn，|()()|nnpuxx取 ，在 上 ，故 。0
23、pX|0u注、定理 1.9 与数项级数收敛的必要条件类似，常用于判别非一致收敛性。还可以借助端点的发散性判断非一致收敛性。定理 1.10 设对每个 ， 在 处左连续，又 发散，则n()uxc1()nuc， 在 上必不一致收敛。01()nuc,)c证明：反证法设 ，使得 在 上一致收敛，则由 Cauchy 收敛准则: 1()nx,)c， ，使得0N， ， 1|()()|nnpu(,)xcp令 ，则xc， 1|()()|nnpcuc p再次用 Cauchy 收敛准则， 收敛，矛盾。1n与此定理相似的结论：定理 1.11 设 在 处右连续， 发散，则 ，()nuxc1()nuc0在 上必不一致收敛。
24、1()nux,)c例 10 判断 在 的一致收敛性。1nxe(0,)363分析 显然 ， 收敛，利用根式法可知 ，只有0x0nxenxe当 时，才有 ，才能得证一致收敛。因而： 附近有可能x1e 0破坏一致收敛性。解：显然， 时， 发散。因而由定理 1.11 可得非一致收敛。0x1n例 11 说明 在 上非一致收敛。2()n(,)解：当 时， 发散,故, 在 上非一致0x211()nnx21()nnx(,)收敛（ 为坏点） 。习题1、研究下列函数项级数的点收敛性：1） ； 2） ；2()nnx121()nnx3） ； 4） .21()nn21ne2、研究下列函数列 的点收敛性：(nfx1） ；
25、 2） 、 。2()xnnSe 1sin, 0()1, nxnSx3、讨论函数项级数在给定区间上的一致收敛性：1） 、 2, sinxx3642） 、 ，2341nx0x3） 21l(), n4） 、 1cos, )02,(0,); 2nxixix5） 、 21l(), nn6） 、 321arct, nxx7） 、 1si, )01; )0xnii8） 、 21(), nxne9） 、 1l(), 01; )03nnixixx 10） 、 21ta(), ; )nii4、讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：1） 、 2(), )01; )0nxnSxeixix2） 、 , ; nnii3
26、） 、 ()cos), 01nSxx4） 、 . knxe5、设 在(a,b)内一致收敛，在端点 xa，b 收敛，证明： 在1()nu1()nux365区间a,b上一致收敛。6、设 在(a,b)内一致收敛，对任意 n， ，证明：1()nux(),uxCab在区间a,b上一致收敛。1()n7、设 在 xa、b 点收敛，对任意的 n， 在a,b上单调，证明：1()nu ()ux在a,b上一致收敛。1()n8、证明： 在a,b上一致收敛但非绝对收敛。举例说明绝对收21()xne敛的函数项级数不一定一致收敛。9、设 在a,b上等度连续，即对任意的 ，存在 ，使得当 x、y()nSx 00且 时，成立,
27、ab|y， ，|()|xSyn又设 在a,b上逐点收敛，证明 在a,b上一致收敛。()nS()Sx10、利用 Cauchy 收敛准则证明： 在(0,1)内非一致收敛。1cosn3662 和函数的性质本小节，我们研究和函数的分析性质，如和函数的连续、可微等性质，并由此讨论关于和函数的一些运算。需要指明的是，下面定理中的闭区间a,b都可以用任意的区间代替。定理 2.1 若 1） ，2） ， ，则,()abnSx(),nSxCab(1,2)n。(),SxCab分析 根据定义，要证 ，只需证明 、 ，(),xCab0x,0存在 ，使得0(,)x，0|()|S0(,),xU因此，证明的关键是对上式左端的
28、估计。而我们知道的条件一是一致收敛性，由此知道了 ， ，二是连续性，由此知道了对某个 n 的估|()|nx,Cab计式 ， ，因此，相互比较可以发现应该0|S00(|(,)xxn通过插项方法，利用已知的项实现对未知项的控制，但是，必须要解决估计过程中，利用连续性所产生 与 n 的依赖关系，因此，必须将任意的 n 固0(,)定，这是证明中的技巧。证明：任取 ，利用一致收敛性，则 ，存在 ，当0,xab0()N时，nN367， ，|()|nSx,xab特别，取 ，则01N， 。0|()|nx,x又 ，存在 ，使得00lim()nxS0(,)(n， ，00|()|nx,xab因而，当 时，(,xab
29、，00 000 0|)|)(|()|()|3nnnnSSxSxSx故， 。(,xC注、可以用上述定理证明非一致收敛性，即下述的推论。推论 2.1 设 ， ，若 ，则 非,()abnSx(),nSxCab(),SxCab()nSx一致收敛于 。如，用推论 2.1 可以证明： 在0,1上非一致收敛，因为其和函()nnx数在0,1上不连续。0, 1()xSx注、定理 2.1 表明，如下运算成立： 0 000lim()li()lim()nnx xSxSS即两种极限运算可换序，0 0li()li()nnxx因此，一致收敛性保证了上述两种运算可换序。定理 2.2 设 且 ，则,()abnS(),nSCab
30、，limli()()bna axdxdSx368即极限与积分可换序。分析 这是一个关于 的极限问题，直接比较即可证明之。n证明：由于 ， ， ，当 时，()nSx0Nn， ，|()|)ba,xb故，当 时，N，|()()|()|bbn naaaSxdxSd因而，。lim()li()()bbbnnaaadx注、从证明过程中可知：连续性的条件只是为了保证 的连续可积性，()Sx因而， 可减弱为 ， 。(),nSxCb(),nSxRb(),xRb定理 2.3 假设 满足 1） 、 ；2） 、 ，nCa()nxS； 3） 、 ， ，则 且 ，因,xab()nx,xa()Sx而，微分与极限运算可换序，即
31、 ()lim()li()lim()nnnd dSS分析 我们知道积分和微分存在着量的关系，而且我们已经知道了积分运算的相应结论，因此，证明的思路就是将微分关系转化为积分关系，借用定理2.2 完成证明，即等价于()Sx()()(xxaatdStxSa可以充分利用已知的积分换序定理证明结论。证明：由于 ，由定理 2.2，则()nx()limli()lim()()(x xnnnaaatdStdStdSxaSxa，由定理 2.1 得 ，故 ，因而，也有 ，(),Cb1(),xatCb1(),Cb对上式两端微分，则 。S再次利用微积分关系式，则369， ，()()()xnnnaStdSa()xaStd故
32、， ()()()()xxnnnaatt，nSdtS故， 。 ()nSx注、上述关于分析性质的定理，可类似推广到函数项级数。下面通过例子说明上述定理的应用。例 1 证明：1） 、 ；1sin()(0,2)xfxC2） 、 121i()(,)nf分析 这是和函数的连续性问题，由定理 2.1，只需验证相应的一致收敛性。简单分析可以发现， 在 是点收敛而不是一致收敛，但是，six(0,)注意到连续性、可微性都是局部性的概念，验证这些性质在某个区间上成立，只需验证其在任一个闭子区间上成立，这是局部概念特有的性质，也是处理局部性性质的常用思想。证明：1)、任取 ，则 ，使得 ，类似前例，0(,2)x00(
33、,2)x在 一致收敛。由定理 2.1， ，故 在sinx,2)fC()fx点连续，因而, 。0(),)fxC2） 、考察其导数级数 ，对任意的 ，则 在1cosnx(0,)1cosnx一致收敛，因此，由定理 2.3， 且, 1s()nfx，由 的任意性，则 。1(),2fxC 121i()(0,)nfC例 2 证明：当 时，(1,)x370123()1ln()nxxx证明：考察级数 。 则1()n121()()()nnk nkSxxxx 因而， 1(), (,)nSx即。1(),nx(,1)对 ， 收敛，由 Weiersfrass 判别法得， 在01n 1()nx一致收敛，因而，由定理 2.2
34、，则1,，100()xxndtt 1,即，1()l()nx ,x由 的任意性，则0， 。1()ln()nx (1,)x注、这类题目从形式看是计算函数项级数的和函数，处理这类题目的方法是利用已知的函数项级数及其和函数，通过求积或求导计算新的函数项级数的和函数，而已知的函数项级数通常是1(),nSxx(1,)x和。0(),1nxx(,)371例 3 证明： ， 。21()nx(1,)证明：易证 在 点收敛于 且内闭一致收敛，而0nx,()Sx在 内闭一致收敛于 ，则由定理 2.3： ,1nx(,)()21()()xSx故, , .121()nnx(1,)注、从例 2 和例 3 的结论形式看，也可以
35、视为函数的级数展开，将其与函数的 Taylor 展开相比，可以发现：Taylor 展开是有限展开，且在定义域内都成立，级数展开是无限展开，且只在函数项级数收敛的范围内成立。习题1、证明： 在 非一致收敛，但是可以逐项求积和逐项求导，21arctnx(,)即成立对任意的实数 a、b，2211rctarctnbbannxxdd及对任意的 x，成立.2211rctarctnnxxdd2、证明：由 在任何有限的区间都能确定一个连续函数。1()knx3、证明： 在 内具有连续的导数。1si()xnS(,)3724、设 ，计算 。1()cos()2nxS1lim()xS5、设 ，1） 、计算 ；2）计算1
36、()n0()d(), 0,2).Sx6、设对任意的 n， 且 在区间a,b上一致收敛于 ，证(),SxCabnSx(Sx明： 在区间a,b上一致收敛于()nSxe ().e3 幂级数本节研究最为简单的函数项级数幂级数，由于幂级数结构简单，具有良好的性质，在工程技术领域应用非常广泛，因而，从理论上对幂级数进行研究很有意义，本节，我们利用函数项级数理论，研究幂级数的收敛性及其性质。一、定义我们引入最简单的函数项级数幂级数。定义 3.1 设 为给定的数列，称函数项级数 为幂级数。na 00()nnax注、从结构形式看，幂级数是多项式函数的推广，多项式函数是函数中结构最简单的一类函数，具有特殊的性质，
37、更便于研究。注、若取 ，我们得到更简单的幂级数 ，由于对一般的幂级数0x0nax373作变换 ，就可以将其转化为幂级数 。00()nnax0tx0nat因此，本节我们以幂级数 为例引入相关内容。nax二、收敛性质 幂级数是特殊的函数项级数，其结构简单特殊，因而具有特殊的收敛特性。下面研究这些性质。定理 3.1 （Abel 定理）1、设 在 点收敛，则对 ， 必绝对收敛。0nax0 0:|xnax2、设 在 点发散，则 ， 必发散。0n0 0:|n分析 证明的关键是建立已知级数 与要讨论级数 之关系，0naxnax可以采用形式统一法。证明：1） 、对 ，记 ，则 ， 显然，0:|x0|rx1r，
38、00|nnnaa因为 收敛，故， ， 因而 充分大时， ，此时0nx0limnnx0|1nax，|ar由比较判别法得， 绝对收敛。0nx2） 、注意到结论 1） ，此结论用反证法证明。设存在 ，使得 收敛，则利用结论 1） ， 绝对收10:|x10nax0nax敛，与条件矛盾，故，结论 2）成立。374注、结论 1）中， 在 点不一定绝对收敛。0nax0对定理 3.1 分析可知：定理 3.1 反映了幂级数的收敛结构性质收敛点的分布特性，收敛点关于原点对称分布。因而，可以设想：应该存在 ，使得R时， 收敛（绝对） ，而 时， 发散。|xR0nax |xR0nax事实上，这样的 是存在的。为方便，
39、我们称 为 的收敛半径，相R0n应的 称为收敛区间。但是要注意，点 处的收敛性具不确定性。因(,)xR此，称 收敛的端点为收敛域。通过上述定义可知，确定幂级数 的收敛性，只须确定收敛半径及端0nax点的收敛性，因此，关键是确定 。那么，如何确定 ？我们从分析使得RR收敛的点 的结构入手。由于幂级数通项的 幂次的结构形式，我们用0naxx n根式判别法判断级数的敛散性，对 ，由于xlim|li|nnnaa因此，若存在极限 ，则当 ，即 时， 绝对收|nr|1r|xrnax敛。当 ，即 时， 发散。因此，必有|1xr|xnx。lim|nRra由此，若记 ， ，我们得到如下结论：li|nr1 , 0
40、 , rrR定理 3.2 对 ，则当 时， 绝对收敛，当 时，x|0nax|xR375发散。因而， 正是收敛半径。0naxR注、当 时， 只在 点收敛；当 时， 在整个实00nax0R0nax数轴上收敛。注、当 不存在，由于 一定存在，此时，可用lim|nlim|na代替 ，由此确定了收敛半径。li|na|na注、同样可以利用比值法导出收敛半径。定理 3.3 若存在极限 ，则 为收敛半径。1|linarRr注、同样可以用上极限代替定理 3.3 中的极限，即当 不存在时，1|limna可取 。1|limnar定理 3.2 和定理 3.3 给出了幂级数收敛半径和收敛点分布的主要特征，即当 时，幂级
41、数绝对收敛，但是，幂级数在端点 处的收敛性没(,)xR xR有结论，须独立判断其收敛性，可能收敛，也可能发散，即使在端点处收敛，也不一定绝对收敛。我们称幂级数所有收敛点集合为幂级数的收敛域，因此，收敛域就是收敛的区间 加上收敛的端点。(,)例 1 考察 1） ，2） ，3） 的收敛半径和收敛域。nx21()nnx1()nnx解：1）由于 ，故 。limnR当 时， 发散；当 时， 收x11|xnn1x11()|nnx376敛，故其收敛域为 。1,)2）令 ，考虑 ，由于 ，故 。tx21nt12lim()n1tR由于 ， 都收敛，故， 的收敛域为 ，即 时，21()n2121nt,1t收敛，因
42、而 ，即 时， 收敛，因而，21ntx0x21()nnx的收敛半径为 ，收敛域为 。21()nnx1,23） 、令 ，考虑 ，其收敛半径 ，收敛域为 ，因而原t0nt1tR(1,)级数的收敛半径为 ，收敛域为 ，即 。11x(2,0)x注、从例 1 可以看出，幂级数在端点 处有不同的敛散性。例 2 考察 1） ，2） 的收敛半径和收敛域。0nx1!n解：1）由于 ，故 ，因而收敛域为 ，即只有1lim()n0R0才是收敛点。0x2）采用比值法，由于 ，故 ，故收敛域!1lilim()nnR为 。(,)对于隔项幂级数，须用前述的收敛半径的确定思想来进行。例 3 考察 的收敛半径与收敛域。20nx
43、解：记 ，则2|nu377，1|limli2nnxu故，当 时， ，此时级数绝对收敛；当 时， ，|1x1li0n |1x1limnu此时发散。故 ，显然 时， 也收敛，故，其收敛域为 。Rx20nx,例 4 考察 的收敛半径与收敛域。20n解：记 ，则2|nux12lim|n故当 时， ，此时级数绝对收敛，当 时， ，1|2xlinu1|2x1limnu此时发散。因而，其收敛半径为 ，当 时，幂级数都发散，因而12R其收敛域为 。1(,)2上述通过收敛半径讨论了幂级数的收敛与绝对收敛性，下面进一步讨论一致收敛性。定理 3.4（Abel 第二定理）设 的收敛半径为 ，则 在 内闭一致收敛，又若0naxR0nax(,)R收敛，则在 内闭一致收敛，若 收敛，则在 内0nR(,0()nn,)R闭一致收敛，若 ， 都收敛，则在 一致收敛。0naR0()n ,R证明：任取 ，存在 ，使得,(,b0，由于 ，则 绝对收敛。, )ab|R()nna
