1、1 引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数 在点 的某个邻域内存在直至 阶的连续导数，f0xn则 20 0000!xfxffxf， (1)00(!nnfR这里 = 称为皮亚诺型余项。如果增加条件“ 有 阶连续xRnno0 xf1n导数” ，那么 还可以写成三种形式n（拉格朗日余项）110()!nnxfx（柯西余项）1(1)00()1! nnnf
2、xx ， （积分型余0(1)!xnnftdt项）如果在(1)中抹去余项 ，那么在 附近 可用 (1)式中右边的多项式来近似xRn0xf代替。 如果函数 在 处有任意阶的导数，这时称形式为：f0(2)20 00000 0“ !nnfxfxfxfx 的级数为函数 在 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在 附近确切地表达 ，f0x 0xf或说 在 泰勒级数在 附近的和函数是否就是 ，这是我们现在要讨论的问f0 f题。下面我们先看一个例子：例 1 由于函数xf21,0,xe在 处的任何阶导数都为 0，即 所以 在 处的泰0x,nfn f0x勒级数为： ， nxx!0!2显然，它在 上收敛，且其和函数
3、， 由此看到对一切 都, S0x有 ，xf这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有 0limRn时才能够。在实际应用上主要讨论在 的展开式。这时（2）也可以写成0x， nxfff !0!1称为麦克劳林级数。3 函数的幂级数展开与技巧3.1 一般的泰勒展开法（直接展开法）我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。通常有三种展开思路：1、统一用柯西余项来估计余项 ；2、统一用积分余项来估计余项 ；3、柯西余项（或积分余项）nRx nRx结合拉格朗日余项来估计余项 。本文采用第二种思路。nx例 2 求 次多项式k， kxcxcf
4、 210 N的展开式。解：由于!,0nkcnf总有 ，0limxRn因而 200!kkfffxffxx，012kccx即多项式函数的幂级数展开就是它本身。例 3 求函数 的展开式。xef解：因为， ，xnf10nf,2有(,)x(1)0()!xnnnRftdt， ；01!xt xede()从而， 。 nx xxe!1!21,x例 4 求函数 的展开式。fsin解：由于， ，2sinxfn ,1有(,)x(1)0()!xnnnRftdt01si)(2x ntt， ；0!xndt10!n()所以 在 内能展开为麦克劳林级数：xfsin,； !12!53i nxx同样可证（更简单的方法是对上面 的展
5、开式逐项求导）：sin。 !2!421cosnxxx例 5 求函数 的展开式。1lnf解：注意到，函数 的各阶导数是1x，nnnxf!1从而 ，10!nnf有(1,)x(1)0()!xnnnRftdt；01()!x ntt 01()xnt注意到，当 或 时， 不变符号且关于变量 单调，因此 总,t,xttxt是在 时取最大值 ，从而0tn， ；01()ln(1)0xnnRdtx ()n所以 的麦克劳林级数是f， (3) 23411ln nxxfx 用比式判断法容易求得(3)的收敛半径 ，且当 时收敛， 时发散，1Rx1x故级数域 。 (1,将(3)式中 换成 就得到函数 在 处的泰勒展开式：x
6、1lnfx1，231ln nxx 它的收敛域为 。(0,2例 6 讨论：二项式函数 展开式。1mfx解：当 为正整数时，有二项式定理直接展开得到 的展开式，这已经在mf前面例 2 中讨论过了。下面讨论 不等于正整数时的情形，这时：， ，11mnnfxnx 1,2， ；0m 于是 的麦克劳林级数是xf， (4)21111!m nmxxxn 运用比式判别法可得(4)的收敛半径 。R设 （由二项式定理易证 的情形） ， 有*N*N(1,)x(1)0()!xnnnftdt101()!x mmx10(1)()!nmtdtn10(1)()()!xnmmtd， 。(1)()!mnx ()由比式判别法知级数
7、收敛，故通项()()!nm趋于 ,因此(1)()!nmx 0。li()0nRx所以，在 上有1,， (5)2111!m nmxxxn 对于收敛区间端点的情形，它与 的取值有关，其结果如下：当 时，收敛域为 ；当 时，收敛域为 ；当 时，11,01,0m收敛域为 ；在(5)式中，令 就得到,m， (6),112 nxx当 时，得到12m。 (7)1,654322xxx例 7 以 与 分别代入(6) (7)得到2， 1,112422 nxxx(8)， (9),6543221xxx对于(8) (9)分别逐项可积，可得函数 与 的展开式arctnrsi20arctnxdt， ，25213nxx ,20
8、arcsin1xdt3571346xx21!,1nx 。这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的，特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有用。3.2 通过变形、转换、利用已知的展开式例 8 将函数 展开式 的幂级数并指出收敛半径。243lnfxxx分析：将 变为 的形式。1解：因为 243lnfxx1ln3ln1xllx l3l103ln1nnx10nx， 。103l nnR例 9 求 的麦克劳林展开式（至含 的项） 。21xy6x解：由于，21!mxx 1!nmxn 故 21yx2 3211()()!3!xx，24618x因 故收敛
9、区间为 。02m1,例 10 将 展开成 的幂级数（至含 项） 。xxfcos2 4x解：由 的展开式得cos。21()csosfxx24 41! 45x3.3 利用逐项积分方法例 11 将函数 展开成 的幂级数，并求其收敛区间。221lnfxx分析：该题可化为 的形式展开，但这样的展开式中变成 的lx 21x幂次，而不是 的幂次，我们知道：x，221ln1xx将 展开再积分就方便了 。21x解：因为， 22ln11fxxx而，1221x， ，246135x 1x对上式两端积分可得：，2357131246lnxxxx 当 时，上式为交错级数， 1x，1!0221nun显然有 且 ，依莱布尼茨判
10、别法知：当 时，级数收敛，,1nulimn x因此收敛区间为 。3.4 逐项微分法例 12 将 展开成 的幂级数。21xdefxx分析：先展开，再逐项微分。解：因为 221!nxxxe ，12!n 注意到 ，所以10f， 。2112!xnndedx122!nnxx例 13 将 展开成 的幂级数。cosx解：因为， ，211cos2!nnxx,所以。21cos12!nndxx注：值得注意的是逐项积分法或逐项微分法，常常在区间内部进行，但并不是绝对的，这里就不再证明了。3.5 待定系数法例 14 求下列函数的幂级数展开。3（1） ； （2） 。2ln1x 2sin1cox解：(1) 设，20ln1
11、nxyax因为，22n11lxyx所以 ，故21x2101nnxaxa即 1211nnnaxx，01nnax比较系数得： ， ， ， ， 1a021342a由 ，得：0y，2na， ， ，1a3254,a !1212nan从而 ， 。210!1nnyxx(2)设，nxaxy02cos1in则 20sincsnxxax2301acosx231coscosaxax，2301比较等式两边同次幂系数得：， ， ， ，0a1sin sina这里利用了三角恒等式，sin2sicosi12,3所以 2in1cosx。2siniinx1sinx3.6 微分方程法例 15 求 的幂级数展开形式。42ln1x注：
12、在前面例 14 中用待定系数法已求出幂级数展开式，现在用微分方程法计算 ，从而得到 。0nf 0!nfx解： 设，21lnxy因此，221l1nxxy即， xy121由1两边同时求 阶导数得：n， 01211212 nnnyxyx2令 得：0x， 10210nnyy3这儿下标“0”表示在 处的值，在1式中令 得：x 0x，10y在3式两边微商一次得，2 xyx令 ，知 ，得：0x0y， ，10y0“代入公式3得：， ， ，20ny2210!nn1,n故22101l !1nnnxx4这里“ ”表示右边的级数为左边函数的泰勒级数，容易证明右边的级数的收敛半径 ，利用逐项微分法可以验证级数的和函数
13、是1给定的1R ySx微分方程的解，且 ，而函数0S21lnxy在 处连续，故4式中“ ”改为“ ”对 也成立。1x1x3.7 利用级数的运算例 16 利用函数的幂级数展开，求下列极限。（1） ； （2） 。limn1lxx30sinarclm解：（1）因为 lin1lx23lix x，21lim1x所以 。lin1l（2）由基本初等函数的幂级数展开式得，012!2arcsinnxx，23 113i4!nn代入 ，即得x3sinarc2111300 21!rlimlis 34!nnxx nnx。30112lim684!xx 例 17 计算积分 。310nldx解：因为， ，231llxx 1x
14、故级数在 上一致收敛，故可逐项积分。当 时有)(,rx，23401lnxxxdt而当 时有1x231x234，111由阿贝尔定理得，2340110limnli 1xxxdt 即 。10lndx4 结论我们是在泰勒级数基础上研究幂级数的展开式，利用以上几种方法可以对“幂级数的展开式”这一块内容有深刻的认识，且利用这些展开式解决问题，为我们在今后研究幂级数中提供了工具。致谢 对在研究及撰写论文过程中给予帮助的组织或个人表示衷心感谢！参考文献：1 数学分析.第三版.华东师范大学数学系，2002，52-58. 2 高等数学试题精选题解.华中理工大学出版社，2000，492-498.3 数学分析内容方法与技巧.华中科技大学出版社，2003，164-178. 4 裴礼文.数学分析中的典型问题与解法.第二版.高等教育出版，2003，447-453.5 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲.北京：高等教育出版社，1982，125-162.6 数学分析.复旦大学数学系编.第二版（下册）.高等教育出版社，2002，324-336.7 钱吉林.数学分析题解精粹.武汉：崇文书局，2003，213-238.8 吴良森，毛羽铭.数学分析习题精解.北京：科学出版社，2004，58-127.
